21.2 Кубический сплайн дефекта 2 (или сплайн Эрмита).

Сплайн на интервале является кубическим полиномом

(2)

и на всем интервале имеет непрерывную производную.

Для определения коэффициентов в формуле (2) используем условие прохождения сплайна через узлы, то есть

(3)

Добавим к ним условия непрерывности в узлах:

(4)

где - тангенс угла наклона сплайна.

Условия (3) и (4) образуют систему линейных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов . Если решить эту систему и подставить значения коэффициентов в формулу (2), то получим следующий вид:

(4)

где - длина интервала, а - полиномы Эрмита.

Как видно из формулы (5) необходимо знать кроме значений и наклон в узле. В практических задачах наклоны обычно неизвестны. В этом случае поступают так: эти наклоны предварительно вычисляют по формулам приближенного дифференцирования.

Без вывода приведем формулы для вычисления этих наклонов. Во внутренних точках интервала формулы имеют вид:

(6)

где

Для крайних точек формулы имеют вид:

(7)

(8)

где (9)

Алгоритм построения данного сплайна:

Проверить на какой из отрезков (x_i, x_i+1) попадает значение аргумента х. Если значение аргумента совпало с одной с одной из двух границ подинтервала, то значение сплайна равно табличному значению интерполируемой функции, в противном случае нужно вычислить значение безразмерной переменной t, вычислить значение эрмитовых функций. Если подинтервал является внутренним, то воспользоваться формулами 6 для приближённых вычислений наклонов на его концах. Если внешний, то для одного конца нужно исп. формулу 6, а для другого одну из формул 7, 8. И теперь по формуле 4 посчитать значение Эрмитова сплайна.

22.1 Метод стрельбы

Пусть имеется ДУ 2-го порядка (1)

- неизвестная функция, являющаяся решением ДУ(1), которая должна удовлетворять след условиям в начальный и конечный момент наблюдения t₀ и t_к.

(2)

заданные числа

Примером может служить выбор траектории полёта снаряда, выпущенного из орудия которое находится на заданной высоте. Ствол орудия наклонен так, что в конечный момент времени снаряд должен оказаться на другой заданной высоте.

Моменты t₀ и t_к являются границами интервала изменения независимой переменной, на котором нужно получить решение. Поэтому условие 2 задающее нужные значения решения для этих границ называется граничным условием. Соответственно задача 1 и 2 это граничная задача для ДУ.

Нужно заменить граничную задачу начальной.

(1)

(3)

Т.о. нужно подобрать угол наклона орудия (пристреляться) так, чтобы при t_к высота на которой окажется снаряд была заданной. В этом и заключается идея метода пристрелки.