54. Замечательные пределы.

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице.

lim (sin an)/an = 1 при an→0 и n→бесконечности

Предел последовательности (1 + 1/n)ⁿ при n→бесконечности, называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу е.

lim (1 + 1/n)ⁿ = е = 2,7182… при n→бесконечности

55. Сравнение бесконечно малых функций.

Бесконечно малые α(х) и β(х) называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов lim β(х)/α(х) или lim α(х) /β(х) при х→х0

При lim α(х) /β(х)=С при х→х0

Если С≠0, то α(х) и β(х) называют бесконечно малыми одного порядка

Если С=1, то α(х) и β(х) называют эквивалентными и пишут α ~ β

Если С=0, то α(х) называют бесконечно малой более высокого порядка

56. Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если эта функция определена в некоторой окрестности точки х0 и существует предел lim f(x) при х→х0, равный f(x0)

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).

57. Точки разрыва функции и их классификация

Если при каком то значении х0 не выполняются условия непрерывности, то точка х0

называется точкой разрыва функции.

Различают точки разрыва I и II рода.

Точка х0 называется точкой разрыва I рода, если для нее существуют конечные пределы:

f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x) при х→х0 +-0

и они не равны между собой. Все остальные точки разрыва носят название точек разрыва II рода.

Если f(x0-0)=f(x0+0), то точка разрыва х0 называется устранимой

58. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1 . Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Теорема 2 . Пусть функции u=φ(х) непрерывна в точке х₀, а функция у=ƒ(u) непрерывна в точке u₀=φ(х_о). Тогда сложная функция ƒ(φ(х)), состоящая из непрерывных, функций, непрерывна в точке х₀.

Теорема 3 . Если функция у=ƒ(х) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси (Oх, то обратная функция у=φ(х) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу

59. Свойства функций непрерывных на отрезках

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств:

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

2) Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с)=0.