9 Подвижные нагрузки линии влияния реакций и усилий в балках.

Назовем линией влияния (реакции, изгибающего момента, поперечной или нормальной силы) график изменения соответствующего внутреннего усилия в рассматриваемом сечении в зависимости от положения единичной силы.

Рассмотрим шарнирно консольную балку, загруженную подвижной силой F=1 (рис. 6.1). Положение силы относительно левой опоры определим переменной координатой x. Найдем из условия равновесия балки под действием подвижной нагрузки опорные реакции VA и VB:

, откуда

,

Оказывается, что в зависимости от положения единичной силы F=1, определяемое переменной x, реакция VA меняется по линейному закону. График ее изменения, т.е. линия влияния (Л.в. VA), показан на рис. 6.1. Знак плюс говорит, о том, что при данном положении единичной силы опорная реакция VA направлена вверх, как на схеме балки.

Закон изменения опорной реакции VB:

, откуда

.

Линия влияния опорной реакции VB показана на рис. 6.1. Знак «плюс» на л.в. указывает, что реакция направлена вверх.

Установим закон изменения изгибающего момента в известном сечении m (Л.в. Mm):Положение подвижной силы F=1 на балке не определено, поэтому рассмотрим два самых общих случая:

F=1 находится слева от рассматриваемого сечения m.

Определим изгибающий момент в сечении m исходя из равновесия правой отсеченной части, т.е. той, где нет единичной силы:

, откуда

.

Ранее мы получили, что при загружении балки подвижной единичной нагрузкой опорная реакция VB меняется по линейному закону . Очевидно, что линия влияния Mm (Л.в. Mm) при положении единичной силы слева от сечения m будет представлять собой л.в. VB, ординаты которой увеличены в раз.

Запомним, что этот закон л.в. Mm выполняется на том участке, где находится подвижная единичная сила, т.е. слева от сечения m.

F=1 находится справа от сечения m. .

По аналогии с предыдущим случаем, запишем:

, откуда

.

При положении единичной подвижной нагрузки справа от сечения m линия влияния Mm (Л.в. Mm) представляет собой л.в. VA, ординаты которой увеличены в m раз.

Построив левую и правую ветви л.в.Mm на оси балки, получим линию влияния изгибающего момента Mm (рис. 6.1) при любом положении подвижной нагрузки. Знак «плюс» показывает, что при данном положении единичной подвижной нагрузки растянуты нижние волокна в балке.

Для построения линии влияния поперечной силы Qm рассмотрим те же два случая положения единичной силы F=1.

F=1 слева от сечения m. .

,

т.е. л.в. Qm представляет собой л.в. VB с отрицательным знаком и действителен этот закон изменения Qm слева от сечения m.

2. F=1 справа от сечения m. .

, т.е. при положении силы справа от сечения m изменяется как л.в.VA.

Построив левую и правую ветви л.в. Qm на оси балки, получим линию влияния поперечной силы Qm (рис. 6.1).

Таким образом, для построения л.в.Mm и Qm в заданном сечении необходимо рассмотреть два положения единичной подвижной нагрузки относительно сечения (слева и справа) и найти закон изменения внутренних усилий из условий равновесия той отсеченной части балки, где нет силы F=1.

Примените самостоятельно указанный подход к построению л.в. Mn и Qn (на консольной части балки, см. рис. 6.1).