24 Особенности метода сил при расчёте статич неопред ферм.

Фермы, применяемые в строительстве, строго говоря, всегда статически неопределимы в силу жесткости узлов. Мы будем понимать под статически неопределимой фермой ее расчетную схему с учетом ранее введенных допущений об идеальном шарнирном соединении стержней и узловой нагрузке.

Различают внешне и внутренне статически неопределимые фермы (рис. 3.1а и 3.2 б).

Степень статической неопределимости в любом случае находят по формуле:

W = C – 2Y,

где С – количество стержней в ферме, включая и опорные;

Y – количество узлов в ферме.

W = 17 – 28 = 1

В случае внешне статически неопределимой фермы основная система получается путем замены «лишних» связей в виде опорных реакций неизвестными усилиями (рис. 3.1 б). Как правило, фермы внешне статически неопределимы бывают один или два раза, поэтому выбор основной системы не затруднителен.

W = 19 – 29 = 1

П ри выбор основной системы для внутренне статически неопределимой фермы необходимо строго проверить ее геометриче-

скую неизменяемость. Это связано с тем, что в качестве неизвестных усилий в основной системе принимаются усилия в стержнях фермы (рис. 3.2 б), а такая замена может привести к геометрической неизменяемости.

Р асчет статически неопределимых ферм принято вести в табличной форме (рассмотрим на практических занятиях). Порядок расчета совпадает с порядком расчета рам, и вообще он един для всех статически неопределимых стержневых систем. В случае ферм надо помнить, что коэффициенты канонических уравнений _ik, и _iP определяются только через нормальные усилия:

Окончательные нормальные усилии найдем по формуле: .

Деформационная проверка, устанавливающая верность решения:

25 Статич неопред арки примен метода сил

Аркой называется распорная система, имеющая вид кривого бруса.

Арки могут быть трехшарнирными – статически определимые (рассмотрели ранее); двухшарнирные – один раз статически неопределимы (рис. 3.3 а); одношарнирными – дважды статически неопределимы (рис. 3.4 а) и бесшарнирные (рис. 3.5 а). К бесшарнирной арке можно свести задачу о своде – пространственной распорной системе (рис. 3.5 б). Для перехода от свода к арке следует вырезать из свода (мысленно, естественно) полосу двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии единица.

В мостовых конструкциях чаще применяются двух- и бесшарнирные арки.

Нам известно уже, что выбор основной системы метода сил предопределяет трудоемкость решения. Уделим основное внимание выбору основных систем для различного типа арок.

1 . Двухшарнирная арка (рис. 3.3 а). В двухшарнирной арке основных систем может быть только две, причем они равнозначны. Первая может быть получена путем замены одной из горизонтальных опор неизвестным усилием (рис. 3.3 б) или путем врезания замкового шарнира – сведением, таким образом, к трехшарнирной арке (рис. 3.3 в).

Каноническое уравнение ₁₁x₁ + _1P = 0 в первом случае отражает отсутствие горизонтального перемещения правой опоры, а во втором – отсутствие взаимного угла поворота криволинейных стержней, сходящихся в замковом шарнире.

2. Одношарнирная арка (рис. 3.4 а). Воспользуемся симметрией арки и проведем сечение по замковому шарниру (рис. 3.4 б). Система канонических уравнений распадется на два независимых уравнения, так как х₁ – симметричное неизвестное, а х₂ – кососимметричное: .

3 . Бесшарнирная арка (рис. 3.5 а) является трижды статически неопределимой. Арка симметрична, поэтому основную систему метода сил следует также принять симметричной, проведя замкнутое сечение по оси симметрии – имеем право, так как криволинейные стержни образуют с основанием замкнутый контур (рис. 3.5.б). Система распадется на две части, что, как известно, облегчает решение.

Коэффициенты канонических уравнений метода сил найдем с учетом всех внутренних усилий:

.

Обратим внимание на то, что неизвестные усилия х₁ и х₂ будут симметричными, а х₂ – кососимметрично. Тогда система канонических уравнений распадется на две: , .

Хотя система канонических уравнений распалась на две части, что, конечно, облегчит вычисления, однако полного эффекта за счет симметрии мы не достигли.

Проблема: нельзя ли выбрать такую основную систему, чтобы прийти к трем независимым каноническим уравнениям метода сил. Да, если бы коэффициенты ₁₃ = ₃₁ = 0. Тогда система канонических уравнений приняла бы следующий вид: ,

,

.

Так как от возникают только изгибающие моменты, то требуется добиться выполнения следующего условия: .

Запишем аналитические выражения для усилий и :

,

.

О казывается, что обе эпюры симметричны.

Проблема: в каком случае произведение двух симметричных эпюр будет равно нулю? Очевидно, что только в том случае, когда одна эпюра однозначна, а другая – двухзначна. При ранее принятой основной системе достичь подобного невозможно. Следовательно, надо попытаться выбрать другую основную систему, сохранив преимущество первой в виде симметрии и удовлетворив сформулированному решению двузначности одной из эпюр. Заранее знаем, что двузначной может быть только эпюра от , что видно из записанных выше аналитических выражений внутренних усилий.

Трудно сказать, кому первому пришла идея о следующей основной системе для бесшарнирной арки (рис. 3.6).

Докажем, что новая основная система правомочна. Ее правильность следует из следующих рассуждений:

– канонические уравнения обеспечивают отсутствие взаимных смещений точки приложения неизвестных усилий х_i, но введенные консоли бесконечно жесткие, т.е. недеформируемые и тогда отсутствуют взаимные перемещения во всех точках, принадлежащих им, а значит и точек присоединения жестких консолей и криволинейных стержней. Другими словами, криволинейные стержни в месте сквозного сечения не получат взаимных смещений, тем самым обеспечена эквивалентность новой основной системы и соответствующей ей системе канонических уравнений заданной арке.

П

y_S

остроим схематично эпюры изгибающих моментов от и (рис. 3.7 а и б).

Установим аналитические выражения для изгибающих моментов от и :

Найдем аналитическое выражение коэффициента ₁₃ и приравняем его нулю:

.

Примем, что EI = const, тогда

.Тогда длина бесконечно жестких консолей будет равна:

,

где L – длина дуги арки.