36 Решения задачи изгиб балки в форме начальных параметров.
Опорные реакции сжато-изогнутых стержней на смещения опор
При исследовании реакций сжато-изогнутых стержней на смещения опор удобно вернуться к полученному, в общем виде, уравнению сжато-изогнутого стержня:
.
Запишем это уравнение
через начальные условия, т.е. граничные
условия на левой, начальной опоре (
).
Для этого найдем неизвестные постоянные
,
,
и
через некоторые условия опирания левого
торца балки.
Найдем необходимые производные:
,
,
,
.
При :
,
,
,
.
Тогда искомые неизвестные , , и будут:
;
.
С учетом найденных постоянных уравнение сжато-изогнутой оси стержня примет следующий вид:
или
.
Величины
,
,
и
называются начальными параметрами.
Функции
,
,
и
являются линейно независимыми и
называются функциями Коши. Каждая из
этих функций представляет собой уравнение
кривой изгиба стержня при равенстве
единице соответствующего начального
параметра и нулю остальных.
Часто в качестве начальных параметров удобно использовать хорошо знакомые характеристики:
– угол поворота
поперечного сечения стержня на левой
опоре;
– реактивный момент
в левой опоре;
– поперечная
сила в левой опоре.
В этом случае
уравнение сжато-изогнутой оси и первые
три производные примут вид (с учетом,
что
):
;
;
;
.
В
о
многих задачах нас будет интересовать
поперечная сила, относящаяся к
первоначальной оси стержня, а не к
изогнутой. Обозначим ее
.
Очевидно, что при малых перемещениях
величина
(рис. 2.5) будет:
,
где
.
Так как
,
то
или
.
Переходя к начальным условиям, с учетом, что ,получим:
или
.
С учетом найденного
уравнение прогиба и его производные
будут:
Последнее равенство подтверждает, что величина поперечной силы постоянна по всей длине сжато-изогнутого стержня, как и должно быть при отсутствии поперечной нагрузки.
Полученные результаты позволяют без больших затруднений найти опорные реакции сжато-изогнутых стержней при единичных смещениях опор.
37 Опред критич сил для стержня при разных условиях опирания.
Для шарнирно опертого стержня (рис. 2.1) граничные условия будут:
При :
,
откуда
При
:
Анализ граничных условий:
1. Если
,
то и
,
что отвечает исходной прямолинейной
форме равновесия.
2. Если
,
то
,
где
.
Значение
нас не будет интересовать, так как
отвечает исходной прямолинейной форме
равновесия. Для нас интерес представляет
случай
,
отвечающий первой форме потери
устойчивости, т.е. минимальной критической
силы:
.
Уравнение сжато-изогнутой оси стержня при шарнирном опирании будет:
.
Амплитуду прогиба из решения линеаризованного уравнения нельзя найти.
Понятно, что аналогично можно найти значения критических сил и для других возможных случаев опирания стержня. Ясно, что их величины будут зависеть только от характера опирания. Эта проблема хорошо изучена в курсе сопротивления материалов и приведу только окончательные результаты.
Критическая сила определяется по одной формуле для любых случаев закрепления:
,
где
.
Коэффициент
(коэффициент приведения или коэффициент
свободной длины) как раз и отражает
условия закрепления стержней (рис. 2.3).