26 Метод перемещ.Кол-во неизвест основная система канонич ур-ния и их физич. Смысл.

В методе сил за лишние неизвестные принимались усилия в «лишних» связях (силы и моменты). Определив значения «лишних» неизвестных, можно найти внутренние усилия M, Q и N в любых сечениях, а также перемещения (линейные и угловые) любой точки конструкции. В стержневой системе с учетом принятых ранее допущений и гипотез, заданной нагрузке однозначно отвечают перемещения – вспомним гипотезу о линейной связи нагрузки и перемещений.

Сформулируем следующую проблему: можно ли найти внутренние усилия по соответствующим им перемещениям и, разумеется, известной внешней нагрузке? Эта проблема обратна уже имеющемуся решению – по заданной внешней нагрузке и найденным внутренним усилиям найти перемещение искомого сечения.

Р

2

ассмотрим статически неопределимую раму (рис. 7.1) под действием внешней нагрузки и попытаемся установить, какие перемещения следует знать, чтобы однозначно по ним найти внутренние усилия.

Очевидно, что внешняя нагрузка вызовет изгиб и сжатие-растяжение стержней, а также повороты жестких узлов и их линейные перемещения. Если пренебречь изменением длины стержней в результате изгиба и растяжения-сжатия, то линейные смещения концов стержня будут одинаковы. Угловые перемещения концов стержней, входящих в одни жесткий узел (жестко соединенных друг с другом) также будут одинаковы. Следовательно, в незагруженных внешней нагрузкой стержнях внутренние усилия возникают в результате угловых и линейных перемещений их концов. В загруженных внешней нагрузкой стержнях к внутренним усилиям от смещения концов стержней добавляются усилия от заданной нагрузки. Когда рассматриваем расчет стержней на заданную нагрузку, то перемещения концов стержней в этом случае отсутствуют – стержни являются кинематически определимыми. Сказанное позволяет разбить задачу о расчете статически неопределимой (да и статически определимой) стержневой системы на два этапа:

1. Расчет на заданную нагрузку в предположении, что концы стержней не смещаются, т.е. расчет кинематически определимой рамы.

2. Расчет на действие, нам неизвестных, угловых и линейных перемещений концов стержней при отсутствии внешней нагрузки. Следовательно, угловые и линейные перемещения концов стержней следует принять за неизвестные.

С точки зрения неизвестных перемещений приведенная на рис. 7.1 рама будет трижды неопределима, или, как принято говорить – трижды кинематически неопределима, так как требуется найти угловые перемещения узлов 1 и 2, а также их линейное смещение, которое одинаково у них, так как они связаны стержнем, изменением длины которого пренебрегаем.

Итак, степень кинематической неопределимости находим по формуле:

H = n_y + n_л, где

n_y – число жестких узлов в стержневой системе;

n_л – число возможных независимых линейных смещений концов стержней.

7.2. Основная система метода перемещений. Канонические уравнения.

Чтобы найти решение рамы как сумму решений двух задач – кинематически определимой от внешней нагрузки и от действительных перемещений узлов, следует сформировать основную систему по некоторым универсальным правилам, а именно:

– в жесткие узлы вводятся защемления, препятствующие только их повороту;

– от линейных смещений концы стержня закрепляются одностержневыми шарнирными опорами (одна наложенная связь препятствует только одному перемещению).

Наложенные на раму связи, обеспечивающие ее кинематическую определимость, называются фиктивными связями.

На рис. 7.2 показана основная система метода перемещений для рамы, приведенной на рис. 7.1.

Из анализа основной системы, сформированной по определенным правилам, следует, что она представляет собой набор отдельных стержней, концы которых жестко защемлены или шарнирно оперты. Мы можем, в самом общем виде, рассчитать их на возможные случаи внешнего нагружения, используя, где надо, метод сил. Получим библиотеку решений, которую можем при необходимости расширить. Очевидно, что в таком случае расчет кинематически определимой рамы на внешнюю нагрузку будет формален, так как заключается в наборе эпюр внутренних усилий для каждого отдельного стержня по заранее известным решениям.

Второй этап решения связан с действительными перемещениями концов стержней, а они-то нам и неизвестны! Следовательно, надо найти действительные перемещения концов стержней.

В ернемся к анализу основной системы метода перемещений. Основная система отличается от заданной и нам следует сформулировать условия, при которых они будут эквивалентны. Такими условиями однозначно является отсутствие введенных «фиктивных» связей. Формулировка таких условий достигается условием равенства нулю реакций во всех введенных связях от заданной внешней нагрузки и действительных, пока неизвестных, перемещений концов стержней. Для основной системы, показанной на рис. 7.2, запишем: .

Реакция в первой связи (реактивный момент) будет состоять: – реакция в первой связи от действительного поворота первой фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения второй фиктивной связи (узла);

– реакция в первой связи от действительного смещения третьей фиктивной связи (узлов 1 и 2);

– реакция в первой фиктивной связи от действия заданной нагрузки.

Тогда .

По аналогии с методом сил, результат действия неизвестных перемещений представим как:

, где

r_ij – реакция в i-й связи от единичного смещения j-й связи;

Z_j – действительное (искомое) смещение j-й связи.

Тогда можем записать следующую систему канонических уравнений метода перемещений: .

Из решения полученной системы канонических уравнений найдем искомые действительные перемещения Z_j.

27