38 Опред опорных реак сжатых стержнеи при вынужд перемещ опор.
При исследовании реакций сжато-изогнутых стержней на смещения опор удобно вернуться к полученному, в общем виде, уравнению сжато-изогнутого стержня: .
Запишем это уравнение через начальные условия, т.е. граничные условия на левой, начальной опоре ( ). Для этого найдем неизвестные постоянные , , и через некоторые условия опирания левого торца балки.
Найдем необходимые производные: ,
,
.
При :
,
,
,
.
Тогда искомые неизвестные , , и будут: ; .
С учетом найденных
постоянных уравнение сжато-изогнутой
оси стержня примет следующий вид:
или
.
Величины , , и называются начальными параметрами.
Функции , , и являются линейно независимыми и называются функциями Коши. Каждая из этих функций представляет собой уравнение кривой изгиба стержня при равенстве единице соответствующего начального параметра и нулю остальных.
Часто в Качестве начальных параметров удобно использовать хорошо знакомые характеристики:
– угол поворота поперечного сечения стержня на левой опоре;
– реактивный момент в левой опоре;
– поперечная сила в левой опоре.
В
этом случае уравнение сжато-изогнутой
оси и первые три производные примут вид
(с учетом, что
):
;
;
.
Во многих задачах нас будет интересовать поперечная сила, относящаяся к первоначальной оси стержня, а не к изогнутой. Обозначим ее . Очевидно, что при малых перемещениях величина (рис. 2.5) будет:
,
где .
Так как , то или .
Переходя к начальным условиям, с учетом, что ,получим:
или .
С учетом найденного уравнение прогиба и его производные будут: Последнее равенство подтверждает, что величина поперечной силы постоянна по всей длине сжато-изогнутого стержня, как и должно быть при отсутствии поперечной нагрузки.Полученные результаты позволяют без больших затруднений найти опорные реакции сжато-изогнутых стержней при единичных смещениях опор.Стержень, защемленный по торцам при единичном повороте левой опоры (рис. 2.6).
Запишем известные начальные условия (при ):
,
.
Определим реакции в опорах. Для этого сформулируем граничные условия для правой опоры стержня (при ):
,
.
,
.
Введем, что
,
с учетом чего получим:
.
Решение полученной
системы алгебраических уравнений:
,
C
учетом найденных реакций в левой опоре
и
найдем реакции в правой:
2
.
Стержень, защемленный левым торцом и
шарнирно опертым правым (рис. 2.7) при
линейном единичном смещении левой
опоры.
Запишем начальные параметры ( ):
Сформулируем условия на правом торце балки ( ):
Воспользовавшись
условиями при
,
придем к следующей системе алгебраических
уравнений:
Ее решение:
Аналогично могут
быть произведены расчеты и при других
случаях смещения опор. В Приложении 1 к
лекции приведена таблица реакций от
единичных смещений концов сжато-изогнутых
стержней. В Приложении 2 приведены
значения поправочных коэффициентов в
зависимости от параметра
.
39 Устоич рам гипотизы порядок расчёта.
1. Нумеруем все стержни.
2. Определяем
параметр
для всех сжатых стержней (для просто
изогнутых он равен нулю) между которыми
устанавливается взаимосвязь.
3. Определяют степень кинематической неопределимости рамы:
.
4. Формируется основная система метода перемещений путем введения фиктивных связей, препятствующих линейным перемещениям концов стержней и повороту жестких узлов рамы.
5. Записывается формально система канонических уравнений
метода перемещений:
6. Строятся эпюры изгибающих моментов от поочередного единичного смещения введенных фиктивных связей с использованием таблиц эпюр сжато-изогнутых и изогнутых стержней – .
7. Определяются
коэффициенты канонических уравнений
метода перемещений
.
8. Составляется
определитель из коэффициентов
и приравнивается нулю:
который затем записывается в развернутом
виде, получим уравнение устойчивости.
9. Установим пределы
изменения параметра
,
исходя из эйлеровских решений для
сжато-изогнутых стержней (рис. 2.8). Из
анализа приведенных случаев следует,
что параметр
меняется от
до
.
В действительности
.
10. Находят по таблице
(Приложение 2) значения функций
,
входящие в опорные реакции сжато-изогнутых
стержней с учетом принятого
и подставляют в уравнение устойчивости.
Как правило, уравнение устойчивости не
удовлетворяет нулю, поэтому задаются
новым значением
и вновь производят вычисления, т.е. ищут
корень нелинейного уравнения устойчивости
путем подбора. Однако нам известны и
более рациональные приемы решения
нелинейных уравнений. Они состоят из
двух этапов:
–
Графическое или
аналитическое отделение корня, т.е.
установление интервала
,
на котором есть искомый корень, что
означает удовлетворение условию
.
На рис. 2.9 показаны примеры графического
отделения корня.
– Любым методом –
бисекций, Ньютона и т.п. уточняют корень
.
11. По найденному находят критическую нагрузку:
.
12. При расчете на
устойчивость часто требуется знать так
называемые свободные длины стержней
или коэффициенты свободной длины
,
которые легко определить через параметры
:
.