18 Статич неопред системы. Их свойства кол-во лишних связеи.

Статически неопределимыми стержневыми системами назовем такие, для расчета которых недостаточно одних уравнений равновесия. Другими словами, статически неопределимыми системами являются те, на которые наложено большее число связей, чем необходимо с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости.

Различают два основных типа статически неопределимых систем – внешне и внутренне статически неопределимые. Конечно, возможен случай, когда стержневая система статически неопределима внешне и внутренне, т.е. смешанная.

Внешне статически неопределимой системой является та стержневая система, на которую наложено большее число связей в виде опорных стержней – рис. 1.1 а.

Число «лишних» связей при внешней статической неопределимости определяется по формуле:

,

где Д – число жестких дисков, из которых состоит стержневая система;

Ш – число простых шарниров, соединяющих между собой жесткие диски. Если шарнир соединяет более двух дисков, то он называется кратным и равен d-1 простым шарнирам (d – число соединяемых дисков);

Со – число опорных стержней, наложенных на систему.

Если стержневая система обладает замкнутыми контурами, а число наложенных связей обеспечивает только геометрическую неизменяемость (рис. 1.1 б),

то такая система является внутренне статически неопределимой. Так как каждый замкнутый контур трижды статически неопределим, а шарнир в нем понижает неопределимость на единицу, то не сложно вывести формулу:

, где

К – число замкнутых контуров;

Шк – число простых шарниров в замкнутых контурах.

В случае, когда стержневая система и внешне и внутренне статически неопределима (рис. 1.1 в), то степень статической неопределимости устанавливают путем суммирования внешней и внутренней статической неопределимости:

.

Статически неопределимые стержневые системы обладают рядом преимуществ по сравнению с уже известными нам статически определимыми:

Большей жесткостью из-за наличия «лишних» связей.

Перераспределением внутренних усилий пропорционально жесткостям стержней.

Надежностью в эксплуатации, так как выход из работы связи не ведет к разрушению всей конструкции, а приводит к понижению ее статической неопределимости и перераспределением внутренних усилий.

Тепловое воздействие, осадка опор, неточность монтажа вызывают появление внутренних усилий. Это свойство требует учета перечисленных факторов воздействия в процессе проектирования, возведения и эксплуатации сооружений.

Для расчета статически неопределимых систем разработаны два основных метода: метод сил и метод перемещений.

В методе сил центральной задачей является определение усилий в «лишних» связях, а в методе перемещений – определение перемещений (угловых и линейных) всех узлов стержневой системы.

На базе основных методов разработаны и другие – комбинированный и смешанный.

19 Метод сил.Основная система.Каноничесие уравнения и и х физ.Смысл.

Рассмотрим внешне статически неопределимую Стержневую систему (рис. 1.2 а). Она обладает двумя «лишними связями, т.е. является дважды статически неопределимой:

Заменим «лишние связи неизвестными усилиями (рис. 1.2.б). Если неизвестные усилия Х₁ и Х₂ примут значения усилий опорных реакций H_A и V_A, то вторая схема станет эквивалентной первой, но при этом будет статически определимой. Назовем ее основной системой метода сил.

Таким образом, для решения статически неопределимой рамы необходимо перейти к статически определимой, ей эквивалентной. Если найти каким-то образом усилия в «лишних» связях, то не будет уже сложным рассчитать статически определимую раму (основную систему метода сил) на действие заданной внешней нагрузки и известных уже усилий х₁ и х₂.

Из сравнения заданной статически неопределимой рамы и выбранной основной системы (статически определимой) следует, что с кинематической точки зрения они будут эквивалентны лишь в случае, если перемещения по направлению отброшенных связей в основной системе будут равны перемещениям в заданной, т.е. равны нулю: .

Определим перемещения ₁ и ₂:

В общем случае, когда отброшено к «лишних» связей: ,

где – перемещение точки приложения силы x_i по ее направлению от действительной силы x_k, нам неизвестной;

_iP – перемещение точки приложения силы х_i по ее направлению от заданной нагрузки (умеем находить).

Представим

, где

_ik – перемещение точки приложения силы х_i по ее направлению от

силы в основной системе, статически определимой, которое умеем находить).

Тогда условие эквивалентности основной системы заданной статически неопределимой рамы можно записать так:

Физический смысл полученной системы уравнений – канонических уравнений метода сил в том, что перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю.