46 Колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
Рассмотрим более
подробно влияние сил сопротивления на
свободные колебания системы с одной
степенью свободы. Для этого выясним
суть гипотезы В. Фойгта о вязкоупругом
деформировании материала, являющейся
обобщением закона Гука. В. Фойгтом закон
вязкоупругости сформулирован в следующем
виде:
,
где
– модуль упругости;
– коэффициент,
характеризующий вязкость материала
(размерность – время);
– скорость изменения
деформации во времени.
Это соотношение
можно представить как сумму упругого
и вязкого
напряжений:
,
где
и
.
Очевидно, что упругое напряжение возникает в следствии действия упругой восстанавливающей силы , а вязкое – в следствии действия силы сопротивления, т.е.
,
.
Запишем уравнение
движения массы
с учетом сил сопротивления:
или
,
где
и
.
Решение приведенного
уравнения известно и имеет следующий
вид:
,
где
– частота затухающих свободных
колебаний.
Найдем из начальных условий постоянные интегрирования и :
– при
:
,
.
Тогда получим,
проведя ряд преобразований, следующий
вид постоянных интегрирования:
,
.
Для реальных
конструкций
и частоты
и
можно считать одинаковыми. На рис. 1.9
показан график затухающих колебаний
по полученному решению уравнения
движения массы
.
Из анализа
представленного графика движения
системы с одной степенью свободы при
учете сил сопротивления видно, что
появление множителя
приводит к затуханию гармонических
колебаний и через некоторое время
движение прекращается.
Важное значение в
качестве характеристики свободных
колебаний имеет отношение амплитуд
через период колебаний
:
Итак, получили что
.
Эта величина обычно
близка единице, поэтому в качестве
количественной характеристики затухания
принимают логарифм полученного
соотношения:
или
,
который называется логарифмическим
декрементом затухания и определяет
скорость затухания колебаний. С учетом
того, что
,
окончательно логарифмический декремент
затухания будет:
.
Как видно из полученного результата, декремент затухания, исходя из гипотезы вязкого трения, линейно зависит от частоты колебаний . С другой стороны, многочисленные эксперименты показали (рис. 1.10), что для реальных конструкций значение декремента затухания практически остается постоянной величиной, т.е. является частотно-независимой характеристикой. В указанном противоречии и суть недостатков теории Фойгта.
47 Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления при гармоническом возбуждении.
Учтем силы сопротивления колебанию по ранее рассмотренной гипотезе (В. Фойгта) условного внутреннего трения:
.
Как и ранее,
вынуждающая нагрузка изменяется по
синусоидальному закону:
.
Уравнение движения
системы с одной степенью свободы, с
учетом сил сопротивления, будет:
,
где
и
.
Общее решение приведенного неоднородного дифференциального уравнения находится (ранее обсуждено), как:
,
где (напоминаю),
– общее решение однородного
дифференциального уравнения, а
–
любое его частное решение.
Общее решение частного уравнения вида
хорошо известно:
,
где
.
Отметим, что при
.
Частным решением рассматриваемого уравнения зададимся в виде:
,
или, что однозначно
.
П
одстановкой
принятого частного решения не сложно
убедится, что выбранное частное решение
удовлетворяет рассматриваемому
уравнению. Физически оно описывает
вынужденные, т.е. установившиеся колебания
упругой системы – при
.
На рис. 2.7 схематично
отображен график решения исследуемого
дифференциального уравнения:
.
Исследуем установившийся процесс более подробно.
Итак, из полученных
ранее результатов, следует, что при
установившимся процессе справедливо
следующее решение:
.
Для определения постоянных и воспользуемся следующим приемом – рассмотрим при каких и удовлетворяется искомое неоднородное дифференциальное уравнение.
Определим:
,
.
Тогда:
Отделим коэффициенты
при
от коэффициентов при
:
Полученное уравнение
может иметь решение лишь при условии,
что выражения в скобках (коэффициенты
при
и
)
равны нулю. В этом случае получим
следующую систему алгебраических
уравнений:
.
Из решения приведенной
системы уравнений найдем искомые
постоянные:
,
,
где
.
Найдем амплитуду колебаний из выражения :
.
C
учетом, что тангенс угла
,
получим:
.
Если учтем ранее
полученное выражение
,
то амплитуду колебаний
можно перезаписать следующим образом:
или
.
Отношение наибольшего
динамического прогиба к статическому
прогибу ранее было определено как
динамический коэффициент
.
С учетом, что
и
,
получим следующее выражение для
динамического коэффициента
:
.