4. Статистическое распределение выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1 наблюдалось n1 раз, x2 - n2 раз, xk - nk раз и сумма ni = n - объем выборки.

Определение. Наблюдаемые значения xi - называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношенияк объему выборки ni\n = ωi - относительными частотами.

Определение. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике - соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

5. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения (функция распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события По определению имеем , где - число вариант меньше ; - объем выборки.

6. Полигон и гистограмма.

Полигон.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Относительная частота .

Гистограмма.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны частоте .

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны (плотность относительной частоты).

Дву­мерные и трехмерные гистограммы.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны частоте n_i\h

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны (плотность относительной частоты).

7. Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак.

Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение; если есть основания считать, что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр λ, которым это распределение определяется. Обычно в распоряжении имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака x1, x2, . . . , xn, полученные в результате n наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая x1, x2, . . . , xn, как независимые случайные величины X1,X2, . . . ,Xn, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Определение . Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называется функция от наблюдаемых случайных величин.