- •1)События и их виды
- •2)Классическое определение вероятности .Примеры
- •3)Относительная частота. Теорема бернулли
- •4) Теоремы сложения вероятностей
- •5)Теоремы умножения вероятностейпроизведение событий. Теорема умножения
- •6) Многократные испытания. Формула бернулли. Вероятнейшее число появлений события
- •7) Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •8) Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •9) Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •10) Математическое ожидание и его свойства
- •11)Моменты.
- •12)Дисперсия.
- •13)Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •14) Понятие о центральной предельной теореме
- •15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •16)Интеграл вероятностей
- •17)Вероятное отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •18Среднее отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •19)Основные понятия математической статистики
- •21) Понятие о наилучших оценках
- •22) Понятие о доверительных интервалах доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •23)Коэффициент корреляции и его свойства
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •24) Уравнение регрессии.Его достоинства уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •25) Основные задачи теории ошибок
- •26)Классификация ошибок измерений
- •27) Критерии точности измерений критерии точности измерений
- •28)Свойства случайных ошибок измерений
- •29) Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение
- •30) Средняя квадратическая ошибка функции
- •32) Общие сведения о весах
- •Обратный вес функции общего вида
- •33)Вывод формулы среднего арифметического - доброкачественной оценки неизвестного истинного значения
- •34) Уклонения ср-его арифм-ого и их св-ва
- •37) Вывод формулы Среднего Весового
- •Двойные неравноточные измерения
14) Понятие о центральной предельной теореме
Теоремы, устанавливающие условия, при которых возникает нормальный закон, как предельный закон, известны в теории вероятностей под названием "центральной предельной теоремы", или теоремы А.М. Ляпунова.
Теорема может быть сформулирована так: если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на малые величины по сравнению с отклонением суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к нормальному.
Эта теорема имеет большое значение для теории ошибок измерений.
Можно полагать, что ошибки измерений (где ) складываются из большого числа элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных, и влияние элементарных ошибок на результаты измерений мало по сравнению с влиянием суммарной ошибки .
На основании теоремы Ляпунова закон такой суммарной случайной величины (ошибки ) стремится к нормальному распределению.
15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
Если от случайной величины Х перейти к её нормированному значению , для которой и , то в этом случае плотность распределения (2.19) примет вид:
, |
|
а функция распределения будет определяться формулой
, |
|
где .
Заштрихованная площадь на рис. 3.2 под кривой распределения численно равна .
Вероятность попадания случайной величины Х на интервал , как известно, определяется по формуле .
Переходя к нормированным значениям границ интервала и , получим
. |
|
|
|
Значения можно найти по таблицам по аргументу t.
Рис. 3.2 — Функция распределения
16)Интеграл вероятностей
Более удобной для табулирования является функция , называемая интегралом вероятностей
. |
|
Численно функция равна заштрихованной площади на рис. 3.3. (в осях t и ).
— функция нечётная, т.е. , что позволяет объём таблиц для неё сократить вдвое по сравнению с таблицами для . В Приложении B приводится таблица значений функции .
Рис. 3.3 — Интеграл вероятностей
По графикам, представленным на рис. 3.2 и рис.3.3 , можно установить соотношение между и . Согласно 2‑му свойству плотности вся площадь под кривой распределения равна единице. Заштрихованную на рис. 3.2 площадь, численно равную , разобьём на две части (от до 0 и от 0 до t), одна из которых равна 0,5, а вторая — . Получаем формулу связи функции распределения и интеграла вероятностей
. |
|
Формула с учётом примет вид:
. |
|
Известно также, что функция представляет собой вероятность попадания случайной величины Х в интервал, симметричный относительно математического ожидания (в осях х и ), т.е.
. |
|
Для случайных ошибок измерений выражение примет вид:
. |
|
Так, для по таблице Приложения B находим , а для находим .
На основании этих теоретических расчетов устанавливают допуски в инструкциях, назначают предельные ошибки по правилу:
(или )
Результаты измерений, у которых ошибки превышают предельную, равную 2 (или 3), бракуют, и измерения переделывают заново.
Задача 3.1. Найти вероятность того, что ошибка измерений угла не превзойдёт по абсолютной величине 6,0, если СКО измерений угла равно 10,0, а математическое ожидание ошибок измерений равно нулю (это означает отсутствие систематических ошибок).
Решение: и — найти . С учётом симметричности пределов и свойства функции , получаем по формуле
(Значение интеграла вероятностей находим по таблице Приложения B).