- •1)События и их виды
- •2)Классическое определение вероятности .Примеры
- •3)Относительная частота. Теорема бернулли
- •4) Теоремы сложения вероятностей
- •5)Теоремы умножения вероятностейпроизведение событий. Теорема умножения
- •6) Многократные испытания. Формула бернулли. Вероятнейшее число появлений события
- •7) Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •8) Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •9) Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •10) Математическое ожидание и его свойства
- •11)Моменты.
- •12)Дисперсия.
- •13)Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •14) Понятие о центральной предельной теореме
- •15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •16)Интеграл вероятностей
- •17)Вероятное отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •18Среднее отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •19)Основные понятия математической статистики
- •21) Понятие о наилучших оценках
- •22) Понятие о доверительных интервалах доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •23)Коэффициент корреляции и его свойства
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •24) Уравнение регрессии.Его достоинства уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •25) Основные задачи теории ошибок
- •26)Классификация ошибок измерений
- •27) Критерии точности измерений критерии точности измерений
- •28)Свойства случайных ошибок измерений
- •29) Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение
- •30) Средняя квадратическая ошибка функции
- •32) Общие сведения о весах
- •Обратный вес функции общего вида
- •33)Вывод формулы среднего арифметического - доброкачественной оценки неизвестного истинного значения
- •34) Уклонения ср-его арифм-ого и их св-ва
- •37) Вывод формулы Среднего Весового
- •Двойные неравноточные измерения
5)Теоремы умножения вероятностейпроизведение событий. Теорема умножения
Произведением двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в совместном появлении этих событий.
Пусть С — сложное событие, состоящее в совместном появлении событий . В этом случае пишут
или .
Теорема. Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
. |
|
Вероятности независимых событий называют безусловными. Зависимые события имеют условные вероятности.
Условной называют вероятность, вычисленную в предположении, что одно или несколько событий уже произошли. Например: — условная вероятность события А2, вычисленная в предположении, что произошло событие А1; — условная вероятность события Аn, вычисленная в предположении, что произошли события .
Условие независимости события А2 от события А1 записывают в виде , а условие зависимости — в виде .
Теорема. Вероятность произведения двух или нескольких зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, т.е.
. |
|
Задача 1.4. В ящике имеется 25 белых и 36 чёрных шаров. Определить вероятность последовательного появления двух белых шаров при условии, что первый извлечённый шар обратно не возвращается.
Решение. Обозначим события: А1 — появление первого белого шара; А2 — появление второго белого шара; С — появление двух белых шаров. Поскольку вероятность события А2 зависит от того, наступило или не наступило событие А1, события А1 и А2 — зависимые. Применяем теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим
.
Найдём вероятность события А1:
.
Найдём условную вероятность события А2 при условии, что событие А1 наступило:
.
Искомая вероятность равна:
.
6) Многократные испытания. Формула бернулли. Вероятнейшее число появлений события
Если необходимо определить вероятность того, что при n независимых многократных испытаниях событие А появится ровно k раз, то применяем формулу Бернулли:
, |
|
где — искомая вероятность; p — вероятность появления события А в каждом отдельном испытании (постоянная для всех испытаний); q — вероятность непоявления события А в отдельном испытании (очевидно, что ); — число сочетаний из n по k.
;
; ; .
Если k придавать значения от 0 до n (т.е. ), а вероятности вычислять по формуле Бернулли, то получится совокупность вероятностей: , которая носит название биномиального распределения вероятностей.
Заметим, что .
Задача 1.5. По одной и той же мишени в одинаковых условиях произведено 3 независимых выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Определить вероятности следующих событий:
Мишень будет поражена ровно k раз (причём ).
Решение: так как ; ; ; , то имеем:
;
;
;
.
Контроль: 0,34+0,44+0,19+0,03=1,00.
В мишени будет не менее двух пробоин:
.
Мишень будет поражена не более двух раз:
.
Мишень будет поражена хотя бы один раз:
.
Вероятнейшим числом появлений события А при n многократных испытаниях называют число k0, соответствующее наибольшей при данных условиях вероятности, т.е. k0 находится из неравенства
. |
|
Следует заметить, что левая и правая части неравенства отличаются на единицу. Если p выражается числом, не близким к нулю или единице, то при большом значении n вероятнейшее число находят по формуле
. |
|
Задача 1.6. Найти вероятнейшее число попаданий в мишень по условию задачи 1.5.
Решение:
Так как максимальное значение вероятности соответствует числу , то, очевидно, есть вероятнейшее число попаданий в мишень.
Применим неравенство :
; ; .