- •1)События и их виды
- •2)Классическое определение вероятности .Примеры
- •3)Относительная частота. Теорема бернулли
- •4) Теоремы сложения вероятностей
- •5)Теоремы умножения вероятностейпроизведение событий. Теорема умножения
- •6) Многократные испытания. Формула бернулли. Вероятнейшее число появлений события
- •7) Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •8) Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •9) Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •10) Математическое ожидание и его свойства
- •11)Моменты.
- •12)Дисперсия.
- •13)Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •14) Понятие о центральной предельной теореме
- •15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •16)Интеграл вероятностей
- •17)Вероятное отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •18Среднее отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •19)Основные понятия математической статистики
- •21) Понятие о наилучших оценках
- •22) Понятие о доверительных интервалах доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •23)Коэффициент корреляции и его свойства
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •24) Уравнение регрессии.Его достоинства уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •25) Основные задачи теории ошибок
- •26)Классификация ошибок измерений
- •27) Критерии точности измерений критерии точности измерений
- •28)Свойства случайных ошибок измерений
- •29) Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение
- •30) Средняя квадратическая ошибка функции
- •32) Общие сведения о весах
- •Обратный вес функции общего вида
- •33)Вывод формулы среднего арифметического - доброкачественной оценки неизвестного истинного значения
- •34) Уклонения ср-его арифм-ого и их св-ва
- •37) Вывод формулы Среднего Весового
- •Двойные неравноточные измерения
2)Классическое определение вероятности .Примеры
Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.
Пусть производится опыт с n равнозначными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.
Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев.
p(A)=m/n
Такое определение вероятности называется классическим определение вероятности.
Из классического определения следуют свойства вероятности:
0≤p(A)≤1
p(Ø)=0,
p(Ω)=1,
p(Ā)=1-p(A)
p(A+B)= p(A)+ p(B), если AB=Ø
Вероятность события вычисляют по формуле, называемой "формулой непосредственного подсчёта вероятностей"
. |
|
где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятствующих появлению события А.
Формулу называют также классическим определением вероятности.
Так, найдём вероятность события появления герба при одном бросании монеты:
.
Задача 1.1. В ящике находится 10 бракованных и 15 стандартных изделий. Найти вероятность того, что извлечённая наугад деталь будет стандартной.
Решение. Общее число случаев — ; число случаев, благоприятствующих появлению стандартной детали — . Искомая вероятность равна
.
3)Относительная частота. Теорема бернулли
Существуют события, как например, "попадание в цель при выстреле" или "выход из строя радиолампы в течение одного часа работы", вероятности которых не могут быть вычислены по формуле . Для таких событий используют другие способы определения вероятностей, например, способы, связанные с проведением опыта (эксперимента).
Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события к числу всех произведенных опытов:
. |
|
При неограниченном увеличении числа опытов с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно ожидать, что относительная частота события Q приближается к вероятности Р его появления в отдельном испытании.
Математическую формулировку этой закономерности ("устойчивости частоты") впервые дал Я. Бернулли в теореме, которая представляет собой простейшую форму Закона больших чисел и может быть записана в виде
. |
|
Относительную частоту часто называют статистической вероятностью события.
Задача 1.2. По цели произведено 20 выстрелов, причём отмечено 18 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение:
.
4) Теоремы сложения вероятностей
СУММА СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
На практике обычно требуется определить вероятности событий, непосредственное воспроизведение которых невозможно. В этом случае применяют методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других, более сложных событий, с ними связанных. При решении таких задач используют основные теоремы теории вероятностей.
Суммой двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Для несовместных событий Аi условно пишут: , а также .
Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
. |
|
Следствие 1. Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
. |
|
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
. Задача 1.3. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет — 500 руб., на 10 билетов — по 100 руб., на 50 билетов — по 20 руб., на 100 билетов — по 5 руб. Остальные билеты — невыигрышные. При взятии случайным образом одного билета найти вероятности следующих событий:1) выиграть не менее 20 руб. и 2) выиграть любую сумму. Решение. Обозначим события: В1 — выигрыш не менее 20 руб.; В2 — выигрыш любой суммы; А1 — выигрыш 20 руб.; А2 — выигрыш 100 руб.; А3 — выигрыш 500 руб.; А4 — выигрыш 5 руб. Согласно условию — ; . События Аi несовместны, поэтому применима теорема : ; . ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ Вероятность суммы двух или нескольких совместных событий Ai определяется по формуле
где В — событие, состоящее в появлении хотя бы одного из нескольких совместных событий Ai, а — событие, ему противоположное, состоящее в том, что не появится ни одно из событий Ai,т.е. . определяется по формуле , если события Ai независимы, и по формуле , если события Ai зависимы.
|
|
||
|
|