
- •1)События и их виды
- •2)Классическое определение вероятности .Примеры
- •3)Относительная частота. Теорема бернулли
- •4) Теоремы сложения вероятностей
- •5)Теоремы умножения вероятностейпроизведение событий. Теорема умножения
- •6) Многократные испытания. Формула бернулли. Вероятнейшее число появлений события
- •7) Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •2.1 Виды случайных величин
- •2.2 Формы задания закона распределения дискретных случайных величин
- •8) Формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин формы задания закона распределения для непрерывных случайных величин
- •9) Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •10) Математическое ожидание и его свойства
- •11)Моменты.
- •12)Дисперсия.
- •13)Нормальный закон распределения
- •3.1 Нормальный закон и его основные параметры
- •14) Понятие о центральной предельной теореме
- •15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
- •16)Интеграл вероятностей
- •17)Вероятное отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •18Среднее отклонение и его связь со средним квадратическим отклонением при нормальном законе распределения
- •19)Основные понятия математической статистики
- •21) Понятие о наилучших оценках
- •22) Понятие о доверительных интервалах доверительные интервалы и доверительная вероятность
- •23)Коэффициент корреляции и его свойства
- •5.1 Понятие о статистических связях
- •5.2 Коэффициент корреляции
- •24) Уравнение регрессии.Его достоинства уравнение регрессии
- •3. Составим уравнение регрессии на d:
- •25) Основные задачи теории ошибок
- •26)Классификация ошибок измерений
- •27) Критерии точности измерений критерии точности измерений
- •28)Свойства случайных ошибок измерений
- •29) Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение
- •30) Средняя квадратическая ошибка функции
- •32) Общие сведения о весах
- •Обратный вес функции общего вида
- •33)Вывод формулы среднего арифметического - доброкачественной оценки неизвестного истинного значения
- •34) Уклонения ср-его арифм-ого и их св-ва
- •37) Вывод формулы Среднего Весового
- •Двойные неравноточные измерения
14) Понятие о центральной предельной теореме
Теоремы, устанавливающие условия, при которых возникает нормальный закон, как предельный закон, известны в теории вероятностей под названием "центральной предельной теоремы", или теоремы А.М. Ляпунова.
Теорема может быть сформулирована так: если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на малые величины по сравнению с отклонением суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к нормальному.
Эта теорема имеет большое значение для теории ошибок измерений.
Можно полагать,
что ошибки измерений
(где
)
складываются из большого числа
элементарных ошибок, каждая из которых
вызвана действием отдельной причины,
не зависящей от остальных, и влияние
элементарных ошибок на результаты
измерений мало по сравнению с влиянием
суммарной ошибки .
На основании теоремы Ляпунова закон такой суммарной случайной величины (ошибки ) стремится к нормальному распределению.
15) Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал вероятность попадания нормально распределённой случайной величины на заданный интервал
Если от случайной
величины Х перейти к её нормированному
значению
,
для которой
и
,
то в этом случае плотность распределения
(2.19) примет вид:
|
|
а функция распределения будет определяться формулой
|
|
где
.
Заштрихованная
площадь на рис. 3.2 под кривой
распределения численно равна
.
Вероятность
попадания случайной величины Х
на интервал
,
как известно, определяется по формуле .
Переходя к
нормированным значениям границ
интервала
и
,
получим
|
|
|
|
Значения
можно найти по таблицам по аргументу t.
Рис. 3.2 — Функция распределения
16)Интеграл вероятностей
Более удобной для
табулирования является функция
,
называемая интегралом вероятностей
|
|
Численно функция
равна заштрихованной площади на рис. 3.3.
(в осях t и
).
—
функция нечётная,
т.е.
,
что позволяет объём таблиц для неё
сократить вдвое по сравнению с таблицами
для
.
В Приложении B приводится
таблица значений функции
.
Рис. 3.3 — Интеграл вероятностей
По графикам,
представленным на рис. 3.2 и рис.3.3 ,
можно установить соотношение между
и
.
Согласно 2‑му свойству плотности вся
площадь под кривой распределения равна
единице. Заштрихованную на рис. 3.2
площадь, численно равную
,
разобьём на две части (от
до 0
и от 0 до t),
одна из которых равна 0,5, а вторая —
.
Получаем формулу связи функции
распределения и интеграла вероятностей
|
|
Формула с учётом примет вид:
|
|
Известно также, что функция представляет собой вероятность попадания случайной величины Х в интервал, симметричный относительно математического ожидания (в осях х и ), т.е.
|
|
Для случайных ошибок измерений выражение примет вид:
|
|
Так, для
по таблице Приложения B
находим
,
а для
находим
.
На основании этих теоретических расчетов устанавливают допуски в инструкциях, назначают предельные ошибки по правилу:
(или
)
Результаты измерений, у которых ошибки превышают предельную, равную 2 (или 3), бракуют, и измерения переделывают заново.
Задача 3.1. Найти вероятность того, что ошибка измерений угла не превзойдёт по абсолютной величине 6,0, если СКО измерений угла равно 10,0, а математическое ожидание ошибок измерений равно нулю (это означает отсутствие систематических ошибок).
Решение:
и
—
найти
.
С учётом симметричности пределов
и свойства функции
,
получаем по формуле
(Значение
интеграла вероятностей
находим по таблице Приложения B).