1 .5.1. Случай резонанса

Так, если собственная частота колебаний груза совпадает с частотой изменения внешней силы, то есть, если , имеет место внешний резонанс.

В этом случае интеграл 124 будет равен

25125\* MERGEFORMAT (.)

Очевидно, что амплитуда колебаний груза в резонансном случае линейно возрастает со временем.

Рис.2 Изменение угла отклонения стрелы в резонансном

Случае ( )

Оглавление

Рис.3 Изменение угла отклонения стрелы в резонансном

Случае ( )

Графики зависимости колебаний стрелы в резонансном случае представлены на рис. 2, 3. График на рисунке 2 построен для значений и частота 120 , на рисунке 3, соответственно, и .

1.5.2. Нерезонансный случай

Если собственная частота и частота изменения внешней силы не совпадают, то вычисление интеграла 124 дает

26126\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

Таким образом, вынужденные колебания стрелы мостового крана в нерезонансном случае происходят по закону

27127\* MERGEFORMAT (.)

Полученное решение уравнений вынужденных колебаний представляет собой сумму частного решения уравнения собственных колебаний и частного решения уравнения вынужденных колебаний . Такая сумма уже не будет не только гармоническим колебанием, но и, вообще говоря, при произвольных значениях и периодической функцией. Графики решения для различных значений частот и приведены на рисунках 4, 5.

Рис.4 Изменение угла в нерезонансном случае

Оглавление

Рис.5 Изменение угла в нерезонансном случае

Амплитуда вынужденных колебаний, как это видно из 127, обратно пропорциональна разности , то есть, тем больше, чем ближе значения собственной частоты и частоты вынуждающей силы. График зависимости модуля амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (АЧХ) приведен на рисунке 6.

Рис.6 Зависимость модуля амплитуды вынужденных колебаний

От частоты вынуждающей силы

Оглавление

1 .5.3. Биения

Характерный вид имеет решение 127 уравнений вынужденных колебаний в случае, когда собственная частота и частота изменения внешней силы имеют близкие значения.

Как это видно из формулы 126

28128\* MERGEFORMAT (.)

Зависимость может быть представлена в виде произведения двух гармонических функций с существенно различающимися частотами и . Малая частота называется несущей частотой. Большая частота называется частой модуляции. Соответствующие периоды равны , .

При малых значениях параметра , справедливы приближённые соотношения

29129\* MERGEFORMAT (.)

Графики изменения переменной при близких значениях собственной и вынуждающей частот приведены на рисунках 7, 8. Такой вид колебаний называется биениями. Аналогичные режимы наблюдаются также в системах со многими степенями свободы в случае близких значений собственных частот.

Оглавление

Рис.7 Биения

_{Рис.8 Биения}

1.6. Вопросы для самоконтроля

1. Какие уравнения описывают вынужденные, а какие уравнения описывают свободные колебания механической системы?

2. Что такое характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения?

3. Дайте определение весовой функции линейного дифференциального уравнения. Каким начальным условиям удовлетворяет весовая функция?

Оглавление

4. Сформулируйте теорему Коши о частном решении неоднородного линейного дифференциального уравнения.

5. Какой вид имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

6. Сформулируйте условие возникновения резонансных режимов колебаний. Какой вид имеет решение линейного дифференциального уравнения второго порядка в случае резонанса?

7. Являются ли вынужденные колебания при произвольных начальных условиях гармоническими?

8. Когда в линейной системе с одной степенью свободы возникают биения?

302Equation Section (Next)

Оглавление