4. Колебания при резании материалов

Колебания при резании материалов снижают точность и производительность обработки, стойкость режущего инструмента и качество обработанной поверхности. Наибольший интерес при точении представляют поперечные колебания заготовки и режущего инструмента относительно друг друга в точке приложения силы резания. Причем задающей (доминирующей) системой может быть или заготовка (например, при обтачивании нежестких валов), или инструмент (при выполнении операции растачивания). Как правило, это одночастотные колебания задающей системы с низшей (основной) частотой, т.е. колебания с одной степенью свободы.

В зависимости от характера возбуждения колебания делятся на свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

Свободные (собственные) колебания – это такие колебания, которые возникают вследствие начального отклонения тела от наложения равновесия, а затем поддерживаются силами упругости системы. Наличие сил сопротивления приводит к затуханию свободных колебаний.

Вынужденные колебания – это колебания, которые вызываются переменным внешним воздействием. Например, при обтачивании заготовки с эксцентриситетом.

Параметрические колебания – такие колебания, которые происходят за счет изменения параметра (параметров) системы во времени. Например, жесткости при шлифовании вала со шпоночной канавкой.

Автоколебания (самовозбуждающиеся) – это такие колебания, в которых потери энергии пополняются за счет периодического притока энергии от источника, не обладающего колебательными свойствами. При резании в автоколебательную систему энергия поступает от двигателя главного движения. Причем поступление энергии в систему управляется самим движением, а период колебаний и амплитуда не зависят от начальных условий.

При резании в общем случае возможен процесс смешанного характера, представляющий собой результат положения свободных, вынужденных, параметрических колебаний и автоколебаний. Их можно выявить с помощью спектрального анализа.

4.1. Свободные колебания вершины резца без затухания

Рассмотрим колебания вершины резца вдоль вертикальной оси z с размерами державки B × 4 и вылетом L. На резец действует статическая составляющая силы резания (рис. 4.1).

В начальный момент времени (t = 0) вершина резца смещается на величину z₀ от положения статического равновесия и получает мгновенную начальную скорость V₀. Необходимо найти закон движения вершин резца.

Начальные условия: при t = 0 z = z₀; z = V₀.

Найти z = z(t).

Рис. 4.1. Схема свободных колебаний вершин резца

Дифференциальное управление движения вершины резца может быть получено, если известны силы, действующие на резец при колебаниях.

Для решения поставленной задачи реальную систему (рис. 4.1) с распределенными параметрами приведем к системе с одной степенью свободы с массой m, сосредоточенной в вершине резца, и которая перемещается вдоль вертикальной оси z (рис. 4.2).

Приведенная масса определялась из условия равенства первой собственной частоты реальной и приведенной системы. Приведенный коэффициент жесткости рассчитывался из условия равенства потенциальной энергии, а приведенный коэффициент сопротивления – из условия равенства рассеянной за цикл энергии реальной и приведенной систем [5].

Рис. 4.2. Расчетная схема колебаний вершины резца (а); силы, действующие на приведенную массу (б)

В качестве расчетной схемы выберем консольную безмассовую балку жесткостью EJ (рис. 4.2, а). Статический прогиб балки под нагрузкой равен

(4.1)

где E – модуль упругости,

J – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси изгиба.

Коэффициент жесткости K в данном случае равен

. (4.2)

Приведенная масса в данном случае находится по формуле [5]:

(4.3)

где M – масса резца.

Пусть приведенная масса выведена из положения статического равновесия, и некоторый момент времени находится на расстоянии z. В этот момент времени на массу m действуют следующие силы (рис. 4.2, б):

– статическая сила резания ;

– упругая восстанавливающая сила k(δ_ст + z).

Прибавим к этим силам силу инерции mz'' и получим уравнение движение массы m как уравнение равновесия (принцип Даламбера):

Учитывая, что (из рис. 4.1), после преобразования получим

или

(4.4)

где ω = – основная частота собственных колебаний балки. Общее решение дифференциального уравнения (4.4) имеет вид

Найдем (4.5)

Подставив z и z в (4.4), получим тождество, т.е. выражения (4.5) являются решением дифференциального уравнения (4.4).

Амплитуду колебаний a и начальную фазу найдем из начальных условий.

Из (4.5) при t = 0 имеем:

(4.6)

Откуда (4.7)

Выводы:

1. Свободные колебания происходят около положения упругого (статического) равновесия и являются незатухающими гармоническими колебаниями (4.5).

2. Частота свободных колебаний зависит только от параметров системы: жесткости k и приведенной массы m – и не зависит от начальных условий

3. Амплитуда a и начальная фаза φ зависят от начальных условий.