Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гребень В.Г. Резание материалов - конспект лекц....doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
1.84 Mб
Скачать

5.5. Фундаментальное решение дифференциального уравнения теплопроводности для бесконечного стержня

Пусть в бесконечном стержне с нулевой начальной температурой (рис. 5.3) в начальный момент времени τ = 0 в точке x = x1 вспыхнул и мгновенно погас источник тепла, выделивший количество тепла Q.

Рис. 5.3. Схема бесконечного стержня с бесконечным точечным источником тепла

Дифференциальное уравнение теплопроводности этого стержня имеет вид:

(5.20)

Начальное условие: при τ = 0, θ(x, 0) = θ0 = 0. Граничные условия: Это указывает на отсутствие теплообмена стержня с окружающей средой на ±∞.

Решением дифференциального уравнения теплопроводности (5.20) является функция θ(x,τ), которая при подстановке его в уравнение (5.20) обращает его в тождество и, кроме того, удовлетворяет начальным и граничным усло­виям.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности для мгновенного точечного источника тепла впервые получил У. Кельвин в виде [2]:

(5.21)

Из (5.21) следует, что функция θ(x, τ) имеет максимум в точке x = и что количество тепла Q = CvB остается неизменным в любой момент времени. В представляет собой площадь, ограниченную функцией θ(x, τ) и осью x.

Функцию θ(x, τ) называют фундаментальным решением дифференциального уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. С помощью этого уравнения можно сконструировать решение уравнения теплопроводности для других краевых условий. Для этого любой процесс распространения тепла в твердом теле путем теплопроводности представляется как совокупность процессов выравнивания температуры от множества элементарных источников тепла, распределенных как в пространстве, так и во времени (принцип суперпозиции). Результат получается суммированием (интегрированием) элементарных решений.

5.6. Расчетная схема

Расчетная схема для определения температуры резания предоставлена на рисунке 5.4.

Рис. 5.4. К расчету температуры контактных поверхностей инструмента

На рисунке V – скорость резания; V1 – скорость стружки, k – коэффициент усадки стружки; a – толщина срезаемого слоя; a1 – толщина стружки; ОА – длина плоскости сдвига; β – угол наклона плоскости сдвига; С = ОС – длина контакта стружки с передней поверхностью; h = oh – ширина площадки износа задней поверхности, q1, q2, q3 – плотности тепловых потоков 1, 2 и 3 источников тепла.

Будем считать, что плотности тепловых потоков в плоскости сдвига и на контактных поверхностях инструмента распределены равномерно. Источники тепла будем считать быстродвижущимися. Критерий Пекле для передней поверхности , или . Для задней поверхности >10.

5.7. Температура в плоскости сдвига

Температуру θδ, которую стружка приобретает в результате деформации металла в плоскости сдвига, найдем из уравнения баланса тепловых потоков

Ф1 = Ф+ Ф1 . (5.22)

В результате того, что стружка движется с большой скоростью относительно плоскости сдвига, считаем, что Ф 0. Тогда уравнение (5.22) запишется в виде

τ · ε · a · b · V = θδ · Cv · a · b · V.

Откуда

или

ε, (5.23)

где Sb – действительный предел прочности обрабатываемого материала на растяжении. Sb = 0,95·σb·(1+δ), σb – временное сопротивление разрыву, δ – относительное удлинение.