34.Границя числової послідовності та її геометричний зміст. Арифметичні операції над послідовностями та їх границями.

Озн: Число А називають границею числової послідовності , якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа , знайдеться такий номер ,що для усіх членів послідовності з номерами справджується нерівність: . Позначається

35.Нескінченно малі та їх властивості. Нескінченно великі та їх властивості.

Озн: Змінна ,що має границю, яка дорівнює 0, називається нескінченно малою величиною(або нескінченно малою).

Озн: Змінна є нескінченно малою, якщо для будь-якого знайдеться таке ,що .

Властивості нескінченно-малих:

1.Алгебраїчна сума обмеженого(скінченого) числа нескінченно малих є нескінченно мала(сума та різниця).

2.Добуток нескінченно малої на постійну або іншу нескінченно малу є нескінченно мала.

3.Частка від ділення нескінченно малої на постійну є нескінченно мала.

Озн: Змінна має назву нескінченно-великої, що для будь-якого великого М>0 знайдеться таке N=N(M), що для всіх n>N буде справджуватися, якщо .

Властивості нескінченно-великих:

1.Добуток нескінченно-великої на постійну, відмінну від 0, є нескінченно-велика.

2.Сума нескінченно-великої і постійної є нескінченно-велика.

3.Частка від ділення нескінченно-великої на постійну є нескінченно-велика.

4.Сума та добуток нескінченно-великих є величина нескінченно-велика.

36.Звязок між нескінченно малими та нескінченно великими. Зв’язок нескінченно малих з границею послідовності.

Теорема: Якщо ф-ція є нескінченно мала величина при , то ф-ція є нескінченно великою при . Та навпаки, якщо ф-ція нескінченно велика при , то ф-ція є величина нескінченно мала.

Теорема: Якщо має при границю, яка дорівнює А, то можна подати у вигляді: де -нескінченно-мала.

Теорема: Якщо можна подати як суму числа А та нескінченно-малої при , то числа А є границя цієї послідовності при , тобто

37.Теорема про одиничні границі числової послідовності. Теорема про обмеженість збіжної послідовності.

Нехай послідовність за свою границю має число А. Тоді є нескінченно малою послідовністю, так як для будь-якого існує номер N , такий, що для всіх виконується нерівність .

Теорема: про одиничність границі: Збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення: Припустимо протилежне, що збіжна послідовність має дві границі А та В. Тоді за формулою для елементів отримаємо: та де , - елементи нескінченно-малих послідовностей. Порівнюючи праві частини цих співвідношень. Так як усі елементи нескінченно-малої послідовності дорівнюють одному числу В-А, то А-В.

Теорема про збіжність збіжної послідовності: Збіжна послідовність обмежена.

Доведення: Нехай - збіжна послідовність та число А- її границя. Нехай - довільне додатне число, та N- номер, починаючи з якого виконується нерівність .Тоді для усіх n>N.