20.Базис та ранг системи векторів. Розклад вектору по векторам базису…

Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.

Матрицю , стовпчики якої є координати нового базису в старому базисі , будемо називати матрицею переходу від базису e до базису .

Озн: Базисом n-мірного векторного простору називається будь-яка система (сукупність) n лінійно-незалежних векторів цього простору.

Озн: Два вектори називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0.Система векторів називається ортогональною, якщо вектори цієї системи попарно ортогональні.

Озн: Система векторів називається ортонормованою, якщо вектори цієї системи попарно ортогональні та мають довжину, яка дорівнює 1.

Озн: базис простору називається ортонормованим ,якщо система векторів, яка його утворює є ортонормованою.

21.Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом…

Озн: Рівнянням лінії(кривої) на площині 0ху називається рівняння, якому задовольняють координати х та у кожної точки цієї лінії та не задовольняють координати будь-якої точки, яка не належить цій лінії.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом .

Загальне рівняння прямої та його дослідження:

Розглянемо рівняння першого ступеня з двома невідомими у загальному вигляді: Ах+Ву+С=0

Загальне рівняння прямої, у якому коефіцієнти А та В не дорівнюють одночасно 0.

1. Нехай В не дорівнює 0, тоді рівняння можна записати як .Позначимо :

А).Якщо А не дорівнює 0, С не дорівнює 0,тоді одержимо ;

Б). Якщо А не дорівнює 0, С=0, тоді ;

В). Якщо А=0, С не дорівнює 0,тоді ;

Г).Якщо А=0, С=0, тоді у=0.

2.Нехай В=0, А не дорівнює 0, тоді рівняння буде мати вигляд , позначимо :

А) Якщо С не дорівнює 0, маємо х=а;

Якщо С=0, тоді х=0.

Висновок: для всіх допустимих значень коефіцієнтів А,В,С рівняння є рівняння деякої прямої лінії на площині 0ху.

22.Рівняння прямої, яка проходить через задану точку у заданому напрямку…

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку у заданому напрямку: .

Якщо в останньому рівнянні к- довільне число, то це рівняння визначає пучок прямих, які проходять через точку , крім прямої, яка паралельна осі 0у та яка не має кутового коефіцієнту: х=х1- пряма, яка не входить в пучок.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки , або ;

23.Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.

24.Відстань від точки до прямої, вивести формулу.

Нехай є точка та пряма Ах+Ву+С=0. Під відстанню від точки М до прямої розуміється довжина перпендикуляру , проведеного з точки М до прямої.

Для визначення відстані необхідно:

1.Сласти рівняння прямої, перпендикулярної до даної та яка проходить через точку ;

2.Знайти точку перетину двох прямих, розв’язавши систему складену з рівнянь цих прямих;

3.За формулою знайти відстань між двома точками. .

25.Загальне рівняння лінії другого порядку. Рівняння кола.

Загальне рівняння лінії другого порядку:

Загальне рівняння кола: , рівняння кола:

26.Еліпс,його рівняння та характеристична властивість.

27.Гіпербола, її рівняння та асимптоти.

28.Парабола, її рівняння та характеристична властивість.

29.Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору…

30.Векторне, параметричне та канонічне рівняння прямої у трьохмірному просторі.

31.Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки. Загальне рівняння прямої.

32. Взаємне розміщення площини та прямої. Кут між прямою та площиною.

33.Означення числової послідовності. Обмежені та необмежені послідовності.

Озн: Якщо за деяким законом кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке визначене число то говорять, що задана числова послідовність

Озн: Послідовність називається обмеженою зверху(знизу), якщо існує число М(m) таке, що будь-який елемент цієї послідовності задовольняє нерівності

Озн: Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху і знизу, тобто існують числа М та m, такі що будь-який елемент цієї послідовності задовольняє нерівності .

Озн: Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого додатного числа А існує елемент цієї послідовності, який задовольняє нерівності .