8.Ранг матриці. Теорема про перетворення, які не змінюють ранг матриці.

Озн: Рангом матриці А називається найвищий порядок не рівних 0 мінорів цієї матриці.

Теорема: Ранг матриці не зміниться, якщо:

1.Відкинути нульовий рядок(стовпчик).

2.Помножити усі елементи рядка (стовпчика) матриці на число, яке не дорівнює нулю.

3.Змінити місцями рядки (стовпчики).

4.Додати до кожного елементу одного рядка(стовпчика) відповідні елементи іншого рядка(стовпчика),помножені на деяке число.

5.Транспонувати матрицю.

9.Базовий мінор та два засоби знаходження рангу матриці.

Озн: Базовим мінором матриці називається будь-який відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці.

Основні методи знаходження рангу матриці:

1.Метод зведення до східцевої матриці.(Тобто за допомогою елементарних перетворень одержати зі звичайної матриці - східцеві, то кількість ненульових рядків визначить ранг матриці.)

2.Метод обвідних мінорів.

10. Система m лінійних рівнянь з п невідомими. Основні означення.

Озн: Системою m лінійних рівнянь з п невідомими називають систему, яка має вигляд:

Озн: Розв’язком системи називається така сукупність п дійсних чисел , яка після підстановки у кожне рівняння системи перетворює його на тотожність.

Озн: Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, та не сумісною ,якщо немає розв’язків

Озн: Сумісна система називається визначеною, якщо вона має одне рішення, та невизначеною, якщо вона має більше ніж одне рішення.

Озн: Дві системи лінійних рівнянь з однаковим числом невідомих називають еквівалентними(рівносильними), якщо вони обидві або несумісні , або сумісні та мають одні й ті ж самі розв’язки.

Теорема Кронекера-Капелі: Система лінійних рівнянь сумісна тоді та тільки тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці цієї системи .

11.Матричне розв’язання лінійної системи.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебраїчні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебра річних доповнень складають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

12.Розвязання лінійної системи за допомогою визначника(в загальному вигляді) на прикладі системи другого порядку…

Нехай є система, в якій m=n (тобто число рівнянь дорівнює числу невідомих). Тоді матриця коефіцієнтів біля невідомих цієї системи є квадратна, а її визначник називають визначником системи.

Теорема Крамера: Система п лінійних рівнянь з п невідомими, визначник якої відмінний від 0, завжди сумісна та має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами: - Формула Крамера.

де - визначник системи, - визначник, який отримується заміною n–го стовпчика на стовпчик вільних членів.

Можна зробити висновок, що за допомогою визначників можна досліджувати системи лінійних рівнянь, у яких m=n таким чином: якщо не дорівнює 0- система має єдиний розв’язок; =0, то не дорівнює 0- немає розв’язків. =0-безліч розв’язків.