67. Дайте означення опуклої множини та опуклої ф-ції. Поясніть знаходження екстремуму опуклої ф-ції.

Озн: Множина D називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок А та В, які належатьD, відрізок, який сполучає ці точки, також цілком належить D.

Спрощено поняття опуклої множини можна пояснити так: опукла множина, яка не містить дірок та вм’ятин .

ОЗН: ф-ція , яка визначена на опуклій множині D, називають опуклою до низу, якщо для будь-яких двох точок та справджується

та опуклою уверх, якщо:

Висновок: 1. для опуклої ф-ції рівність її частинних похідних =0 є не тільки необхідною , але й достатньою умовою екстремуму.

2. екстремум опуклої ф-ції є глобальним, найменшим у випадку ф-ції, опуклої донизу, та найбільшим у випадку ф-ції, опуклої уверх.

68. Дайте означення умовного екстремуму. Поясніть два засоби знаходження умовного екстремуму.

Озн: Екстремум ф-ції , знайдений за умовою, що називається умовним. Рівняння називається рівнянням зв’язку. Геометрично: Задача знаходження умовного екстремуму зводиться до відшукання екстремальних точок кривої, по якій поверхня перетинається з циліндром .

Існує два засоби знаходження умовного екстремуму:

Перший: Якщо з рівняння зв’язку легко знайти та підставити в ф-цію .

Другий: Знаходять координати екстремальної точки, враховуючи те, що вони повинні задовольняти трьом рівнянням: , , , з яких знаходять .

Питання про існування та характер умовного екстремуму розв’язується на основі визначення знака другого диференціала ф-ції Лагранжа: .

69. Поясніть суть методу найменших квадратів, запишіть систему нормальних рівнянь.

Найбільш відомим методом, який використовується для визначення невідомих параметрів, є метод найменших квадратів. Згідно цього методу в якості параметрів ф-ції вибирають такі числові значення, щоб сума квадратів відхилень теоретичних значень , знайдених за емпіричною формулою y=f(x) від відповідних дослідних значень , тобто:

Нехай в якості ф-ції y=f(x) вибрана лінійна ф-ція y=ax+b. Тоді треба знайти такі значення a та b , при яких ф-ція приймає найменше значення. Для цього треба розв’язати систему , Ця система має назву системи нормальних рівнянь та використовується для знаходження a та b.

Ця система має єдиний розв’язок, так як її визначник не дорівнює 0.

70. Дайте озн. Первісної, Сформулюйте та доведіть теорему про множину первісних.

Озн: Ф-ція називається первісною ф-цією для ф-ції на проміжку, якщо у кожній точці цього проміжку .

Теорема: Якщо та -первісні для ф-ції на деякому проміжку, то знайдеться таке число С, що справджується рівність:

71. Дайте означення невизначеного інтегралу та запишіть його властивості.

Озн: Сукупність усіх первісних для ф-ції на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом від ф-ції та позначається .

Властивості невизначеного інтегралу:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ції, тобто .

1. 2.Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

2. 3. невизначений інтеграл від диференціала деякої ф-ції дорівнює цій ф-ції з точністю до постійного доданка, тобто: dF(x)=f(x)dx=F(x)+c.

4.Постійний множник можна виносити за знак інтеграла: ,де а- деяке число.

5.Інтеграл від алгебраїчної суми двох ф-цій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих ф-цій: