60.Дайте означення похідної у даному напрямку. Запишіть формулу та поясніть геометричний зміст.

Озн: Похідною за напрямком l ф-ції двох змінних називається границя відношення приросту ф-ції у цьому напрямку до величини переміщення при прямуванні останньої до 0: . Похідна характеризує швидкість змінення ф-ції z у напрямку l. - похідна заданому напрямку.

61.Дайте означення градієнта ф-ції, запишіть його формулу та властивості.

Озн: Градієнтом ф-ції називається вектор з координатами .

Властивості градієнта:

1.Похідна у заданій точці за напрямком вектора l має найбільше значення, якщо напрямок вектора l співпадає з напрямком градієнта; це найбільше значення дорівнює .

2.Похідна за напрямком вектора, перпендикулярного до вектора ,дорівнює 0.

3.Градієнт ф-ції у заданій точці характеризує напрямок максимальної швидкості змінення ф-ції у цій точці.

Теорема: Нехай задана диференційована ф-ція та нехай у точці величина градієнта відмінна від 0. Тоді градієнт перпендикулярний лінії рівня, яка проходить через задану точку.

62. Дайте означення екстремуму ф-ції двох незалежних змінних. Який характер має екстремум.

63.Сформулюйте необхідну та достатню умову існування екстремуму.

64.Запишіть алгоритм дослідження ф-ції двох змінних на екстремум.

Схема дослідження:

1.Знайти частинні похідні ф-ції та

2.Розвязати систему рівнянь та знайти критичні точки ф-ції.

3.Знайти частинні похідні другого порядку, обчислити їх значення в кожній критичній точці за допомогою достатньої умови, зробити висновок про наявність екстремуму.

4.Знайти екстремуми(екстремальні значення)ф-ції.

65. Дайте означення замкненої, обмеженої множини, глобального екстремуму....

Озн: Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні(межові) точки, тобто ті точки, у околах яких містяться точки, які належать та не належать множині.

Множена обмежена, якщо вона повністю міститься всередині кола достатньо великого радіусу.

Теорема Вейєрштраса: Ф-ція, неперервна у обмеженій та замкненій множині, досягає на цій множині свого найменшого та найбільшого значення.

Озн: Найменше(найбільше) значення ф-ції двох незалежних змінних, неперервною на деякій замкненій множині, називається глобальним екстремумом.

Теорема: Глобальним екстремум ф-ції на заданій множині досягається або у критичній точці, яка належить цій множині, або у граничній точці множини.

66.Запишіть алгоритм знаходження глобального екстремуму ф-ції у замкненій, обмеженій множині.

1.Знайти критичні точки всередині множини.

2.Знайти критичні точки на границі множини, для чого за допомогою рівняння границі задану ф-цію зводять до ф-ції однієї незалежної змінної.

3.Знайти значення ф-ції в усіх критичних точках всередині та на границі множини та вибрати серед них найбільші та найменші значення.