46.Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст. Рівняння дотичної.

Традиційно у якості задач, які приводять до поняття похідної, розглядаються наступні:

1)Задача про дотичну;

2)Задача про швидкість руху;

3)Задача про продуктивність праці.

Озн: похідною ф-ції y=f(x) називається границя відношення приросту ф-ції до приросту незалежної змінної при прямуванні останнього до 0(якщо ця границя існує)

Позначається:

Знаходження похідної ф-ції має назву диференціювання цієї ф-ції. Якщо ф-ція у точці х має похідну, то ф-ція має назву диференційованою у цій точці. Ф-ція диференційована в усіх точках проміжку х, називається диференційованою на цьому проміжку.

Теорема: Диференційована на проміжку ф-ція неперервна на цьому проміжку.

Із задачі про дотичну витікає геометричний зміст похідної: похідна є кутовим коефіцієнтом(тангенсом кута нахилу) дотичної, проведеної до кривої y=f(x) у точці , тобто . Тоді рівняння дотичної до кривої y=f(x) у точці прийме вигляд:

Із задачі про швидкість руху витікає механічний зміст похідної: похідна шляху за часом є швидкість точки у момент часу : Розглянемо економічний зміст похідної більш детально. По-перше, із задачі про продуктивність праці витікає, що похідна об’єму виробленої продукції за часом є продуктивність праці у момент часу . По-друге, існує ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної. Витрати виробництва у будемо вважати функцією кількості продукції х, яка виробляється. Нехай - приріст продукції, тоді - приріст витрат виробництва - середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.

Похідна виражає граничні витрати виробництва та характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва(кількості продукції, яка виробляється) х та визначаються не постійними виробничими витратами, а тільки тими, які змінюються(сировина, паливо). Аналогічно можуть бути визначені гранична виручка, граничний прибуток, гранична корисність… Граничні величини характеризують не стан, а процес зміни економічного об’єкту.

Висновок: Похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об’єкту за часом або відносно іншого досліджуваного фактору.

48.Озн. Екстремуму ф-ції однієї змінної…

49.Похідна складної та неявної ф-ції. Похідна вищих порядків.

Розглянемо похідну, складної ф-ції. Нехай змінна у є ф-ція від змінної u y=f(u), а змінна u, в свою чергу, є ф-ція від незалежної змінної х, тобто задана складна ф-ція .

Теорема: Якщо та - диференційовані ф-ції своїх аргументів, похідна складної ф-ції існує та дорівнює похідній даної ф-ції по проміжному аргументу помножений на похідну самого проміжного аргументу по незалежній змінній х, тобто .

Зауваження: Правило диференціювання складної ф-ції може бути записане таким чином: або

Розглянемо диференціювання неявної ф-ції, яка задана рівнянням . Для знаходження похідної ф-ції у, заданої неявно, треба продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як ф-цію від х, а потім, з отриманого рівняння, знайти похідну .

Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що