85.Сформулюйте теорему про середнє для визначеного інтеграла. Дайте означення інтегралу змінною верхньою границею та його властивості.

Теорема: Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку де a<b,(про середнє) то знайдеться таке значення , що Якщо ф-ція y=f(x) інтегрована на відрізку ,то, вочевидь, вона інтегрована також на кожному відрізку , вкладеному у . Нехай за означенням: де , а ф-ція називається інтегралом зі змінною верхньою границею.

86.Сформулюйте теорему Ньютона-Лейбніца та доведіть її. Наведіть приклад використання формули Ньютона-Лейбніца.

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для x [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.

Наслідки:

1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x).

2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею

87. Знаходження визначеного інтеграла методом підстановки та інтегрування частинами.

Теорема: Нехай ф-ція має неперервну похідну на відрізку , , та ф-ція неперервна у кожній точці , де та . Тоді має місце рівність: Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.Наслідок.

. Інтегрування частинами

Теорема: Якщо функції U= u(x) та V=v(x) мають неперервні похідні, то:

На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

v(x):

де Р(х) – многочлен, Q(x) – алгебраїчна ф-ія.

88.Поясніть суть методів наближеного обчислення визначеного інтеграла методами прямокутників, трапеції, Сімпсона.

89. Поясніть та наведіть приклади використання поняття визначеного інтеграла для розв’язання економічних прикладів.

90. Дайте означення невласного інтеграла з нескінченними границями інтегрування, від необмеженої ф-ції.

Нехай ф-ція y=f(x) визначена та інтегрована на довільному відрізку [a;t], тобто ф-ція визначена для довільної змінної .

Озн:(1) Невласним інтегралом від ф-ції f(x) на напівінтервалі називається границя ф-ції Ф, якщо , тобто:

Озн(2): Невласним інтегралом від ф-ції f(x) на напівінтервалі називається границя ф-ції Ф, якщо , тобто:

Якщо границя, яка є у правій частині рівностей існує та скінченна , то невласний інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку - розбіжним. Звичайно розглядаючи невласні інтеграли, розв’язують дві задачі: 1) Дослідження питання про збіжність заданого невласного інтеграла; 2)Обчислення значення інтеграла у випадку, коли останній збігається.