73.Поясніть суть методів інтегрування безпосередньо, розкладом, підстановкою.

Безпосереднє інтегрування здійснюється у тих випадках, коли заданий інтеграл близький до табличного, або отримується у вигляді, близькому до табличного за допомогою незначних перетворень.

Інтегрування, яке здійснюється за допомогою властивостей: та що дає змогу звести заданий інтеграл до табличного вигляду має назву інтегрування за допомогою розкладу.

Метод інтегрування, який має назву методу підстановки складається з використання формули: .

74.Запишіть формулу інтегрування частинами, які групи інтегралів і як саме інтегрують частинами.

- формула інтегрування частинами. Розглянемо для яких типів інтегралів використовується інтегрування частинами:

І група: .Для знаходження інтегралів цієї групи формулу інтегрування частинами треба буде використати n разів, поки ступінь n не буде рівним 0, а сам інтеграл табличним.

ІІ група: , Для знаходження інтегралів цієї групи вважають (останні співмножники підінтегрального виразу задають вираз для u).

77.Запишіть загальний алгоритм інтегрування раціональних дробів.

Крок 1: Із заданого дробу виділяють цілу частину(далі її інтегрують безпосередньо).

Крок 2:Знаменник дробу, який залишився, розкладають на дійсні множники типу (x-a) та де . Якщо , тоді замінюють множниками , де . Маємо розклад:

Крок 3: Чисельник правильного дробу ділять на кожний множник виразу. Якщо це ділення в якомусь з випадків виконується без остачі, дріб скорочують на відповідний множник.

Крок 4: отриманий дріб розкладають на суму найпростіших дробів та інтегрують кожний доданок окремо.

75.Дайте означення раціонального дробу, наведіть приклади правильного та неправильного дробу. Поясніть, як інтегрують правильні раціональні дроби.

Означення: Відношення двох многочленів називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику тобто n<m. Якщо ж nm, то дріб неправильний.

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1. 2. 3. 4.

де k2, kN, D=p²-4q<0

Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Q_m(x)=(x-a)^kg_m-k(x), то:

2) Якщо Q_m(x)=(x²+px+q)^kg_m-2k(x), то:

де А_і, В_і, – деякі

коефіцієнти, та правильні раціональні дроби.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.

Інтегрування рац. дробів.

Теорема: правильний рац дріб R(x)/Q розклад на суму простіших рац дробів.

1) Корені знаменника дійсні та різні:

Q(x)=(x-₁)(x-₂)…(x-_n)

2) Корені дійсні, деякі кратні.

3) Корені дійсні, серед них є кратні, знаменник містить квадратний тричлен.