91.Дайте означення подвійного інтеграла та запишіть його властивості..

Озн: ф-ція називається інтегрованою на множині D, якщо існує кінцева границя І інтегральної суми цієї ф-ції на D за умовою, що . Саме значення границі І називається подвійним інтегралом ф-ції на множині D. Позначається

Означення: Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок M_i, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f(x,y,z) в тривимірній області D, який позначається так:

За такою схемою можна побудувати ­n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f(M), M(x₁пишіть його властивості. Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)²+…+(x_n-x_n⁰)²<² називається -околом точки P₀(x₁⁰, x₂⁰,…, x_n⁰).

Властивості подвійного інтеграла:

1. 2 Якщо. - дві області без спільних внутрішніх точок, то:

3. 4. Якщо на множині D справджується нерівність , то: 5. Теорема про середнє:

6. Оцінка інтеграла:

92. Поясніть як обчислюється подвійний інтеграл через повторний. Наведіть приклади.

Теорема: Якщо ф-ція неперервна на елементарній множині D, то: Наприклад: Обчислити інтеграл , де D- трикутник, який утворено прямою x+y=1 та вісями координат. Розв’язок: Множина D є елементарною. Тут

93. Дайте означення диференціального рівняння, його розв’язку: загального та частинного на прикладі рівняння першого порядку.

Означення: Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння.

Приклад: -ДР першого порядку. -ДР другого порядку - ДР третього порядку.

Озн: Ф-ція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв’язком ДР, якщо ф-ція є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння розв’язується відносно С. Розв’язок , при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

94.Дайте означення рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Означення: Д.Р. вигляду M(x)dx+N(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними. Загальний розв’язок має вигляд:

M(x)dx+N(y)dy=C і розв. Задачі Коші з початковими умовами х=х₀, у=у₀ має вигляд:

Означення: Д.Р. виду N₁(y)M₁(x)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремлюваними змінними, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними.

95. Дайте означення однорідного диференціального рівняння першого порядку. Поясніть зміну змінної.

Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u y=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

96.Дайте означення лінійного диференціального рівняння першого порядку. Наведіть приклад.

Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)0, то неоднорідним.

Рішення лінійного Д.Р. І порядку:

y'+P(x)y=Q(x)

y=uv

y’=u’v+v’u

u’v+v’u+P(x)uv=Q(x)

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)

v’+P(x)v=0

u’v=Q(x)

97. Дайте означення лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння, його корені та розв’язки заданого рівняння. Наведіть приклади.

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=(x,C₁,C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.