1) Функция f(X) определена в точке х0 и ее окрестности;

2) Функция f(X) имеет предел при х→х0 ;

3) Предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.

Т.к. , то

Другими словами, при нахождении предела непрерывной функции, можно перейти к пределу под знаком функции и вместо аргумента подставить его предельное значение.

М ожно дать другое определение предела: пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (a,b) . и любого разность называется приращением аргумента в точке . Разность соответствующих значений функции называется приращением функции и обозначается .

Т.е. для непрерывной функции бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

5.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной в интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [а;b], если она непрерывна в интервале (а;b) и в точке х=а непрерывна справа ( т.е. ), а в точке х=b непрерывна слева (т.е. ).

5.3. Точки разрыва и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀ – точка разрыва, в ней не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции.

Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение: Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .

При этом:

1) если А₁=А₂ , и f(x) , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) Если , то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример1:

Исследовать функцию на непрерывность в точке х=2.

Решение:

В точке х=2 функция не определена.

Предел слева:

Предел справа:

В точке х=2 функция имеет разрыв второго рода.

Пример2:

Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.

Решение:

Функция f(x)определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3.

Очевидно, что , следовательно , . Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2

5.4. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная(для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Теорема 2: Если функция непрерывна в точке , а функция y=f(u) непрерывна в точке Тогда сложная функция

непрерывна в точке .

Теорема 3: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке оси ОХ, то обратная ей функция также монотонна и непрерывна на соответствующем отрезке оси ОУ.

Замечание 1: Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях переменной х, при которых они определены.

Замечание 2: Функция, полученная из элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) непрерывна при тех значениях аргумента, при которых она определена.