6.3. Геометрический смысл производной

К асательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей MN, проходящей через точку М, когда вторая точка секущей N, неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x). Пусть в точке функция имеет невертикальную касательную (предельное положение секущей). Найдем угловой коэффициент секущей k=tg , где - угол наклона касательной к оси ОХ. Угловой коэффициент секущей

_{При стремящемся к нулю,} .

- угловой коэффициент касательной.

Если функция y=f(x) имеет невертикальную касательную в точке , то в этой точке существует производная , равная тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке к оси .

Справедливо и обратное утверждение:

Если функция имеет производную в точке , то график функции имеет невертикальную касательную, тангенс угла наклона которой к равен .

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , имеет вид: _.

Нормаль-это прямая, проходящая через точку касания _{и перпендикулярная} касательной.

Уравнение нормали: .

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой у = 2 в точке с абсциссой х₀ = .

Решение:

1. у^/ = ((3-х²)/2)^/ = = - .

2. у^/(х₀) = у^/( ) = - 2.

3. у(х₀) = у( ) = .

4. Тогда уравнения касательной и нормали имеют вид:

у - = - 2(х - ) Þ 2х + у - 3 = 0 – искомое уравнение касательной;

у - = (х - ) Þ х – 2у + = 0 – искомое уравнение нормали.

6.4. Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна _.

Доказательство:

Дадим приращение , .

.

2.Производная суммы двух функций равна сумме производных.

.

Доказательство:

, если и - дифференцируемые функции, то их алгебраическая сумма дифференцируема.

.

По определению производной:

.

3. Производная произведения двух функций:

.

Пример: Найти производную функции:

у = соsxln²x.

y^/ = (cosx)^/ ln²x + cosx (ln²x)^/ = - sinx ln²x + cosx2lnx(lnx)^/ =

- sinxln²x +cosx2lnx( ).

4. Производная частного:

Если и - дифференцируемые и , то

_{Пример: Найти производную функции:}

y =

y^/ =

5. Производная сложной функции:

Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна .

Доказательство: Дадим отличное от нуля приращение , тогда получит приращение , - приращение .

По условию .

. Перейдем к пределу

- дифференцируема, непрерывна в точке

.

Правила дифференцирования:

1. С^/ = 0

2. (CU)^/ = CU

3. (U±V)^/ = U^/ ± V^/

4. (UV)^/ = U^/V + UV^/

5. при V¹0.

Таблица производных

	(Un)| = n Un-1 U/
(au)/ = au ×ln a× U/	(eu)/ = eu × U/
(sin U)/ = cos U × U/	(cos U)/ = -sin U× U/
(tg U)/ =	(ctg U)/ =
(arcsin U)/ =	(arcos U)/ =
(arctg U)/ =	(arcctg U)/ =
(log a U)/ =	(lnU)/ =