32.2. Аналитическая аппроксимация и универсальный метод определения расчетных гидрометеорологических характеристик

При выполнении гидрологических расчетов в ходе проектирования мостовых переходов возникает необходимость в интерполяции и экстраполяции зависимостей гидрометеорологических величин, устанавливаемых по натурным данным.

Речь идет об аппроксимации гидрометеорологических зависимостей следующих типов:

1. Кривых связи расходов, уровней, осадков и т.д.

2. Кривых зависимости Н = f(Q), I = f(Н), V = f(Н) и других гидрометрических зависимостей.

3. Кривых вероятностей расходов, уровней, осадков, толщин снега и льда и т.д.

В настоящее время в практике проектирования наибольшее распространение получили графическая и некоторые другие разновидности графоаналитической аппроксимации. Всем им, однако, присущ один общий недостаток - субъективизм ручной аппроксимации, приводящий при одних и тех же исходных данных к неоднозначности решений, нередко выходящих за пределы разумного (например, на мостовом переходе через р. Хопер у ст. Усть-Бузулукская).

Универсальный метод аппроксимации гидрометеорологических величин, основанный на использовании метода «наименьших квадратов», состоит в следующем.

Для зависимостей 1-го и 2-го типов предполагается обязательное установление наличия либо отсутствия связи двух величин (X и Y) путем вычисления коэффициента корреляции. При положительном результате определяются аппроксимирующие функции и вычисляются значения Y = f(X) и X = f(Y) по заданию пользователя.

Особенностью вычисления кривых вероятности (зависимости 3-го типа) является то, что в качестве характеристик натурных точек задают только их ординаты (максимальные расходы, уровни, осадки, толщины снега или льда и т.д.), обычно в наблюденной последовательности. В процессе счета значения величин ранжируются в убывающем порядке. Для каждого члена ряда вычисляется его эмпирическая вероятность превышения по формуле (16.1) и строится аппроксимирующая зависимость Y = f(Р_э%) в масштабе клетчатки нормального распределения. Методика аналитической аппроксимации была разработана Г.А. Федотовым и Г.Г. Наумовым в 1984 году и реализована в виде программы «Гима-2» для компьютеров типа ЕС (Федотов Г.А., Наумов Г.Г. Применение программы Гима-2 при аналитической аппроксимации гидрометеорологических зависимостей. - М.: МАДИ, 1985. - 39 с), а затем в виде программы «Gist» для современных персональных компьютеров.

Неравномерная шкала по оси абсцисс строится по кривой гамма-распределения при C_v = 0 и C_s = 0 и эмпирическая вероятность превышения каждого члена ряда вводится в масштабе клетчатки нормального распределения (табл. 32.1).

Таблица 32.1.

Координаты клетчатки нормального распределения

Вероятность превышения, %	Расстояния от оси X, мм	Вероятность превышения, %	Расстояния от оси X, мм
0,01	0	40	75,0
0,02	3,3	50	80,5
0,05	9,5	60	86,0
0.1	14,0	70	91,8
0.2	18,7	80	98,6
0,33	21,8	85	103,0
0,5	25,1	90	108,1
1	30,5	92	110,7
2	36,3	94	113,9
3	39,9	95	116,0
4	42,8	98	124,7
5	45,1	99	130,5
10	52,9	99,5	135,9
20	62,4	99,9	147,0
30	69,2

Указанная методика, реализованная в виде компьютерной программы «Gist» (Программа «Gist» разработана С.Э. Шпаком), позволяет решать следующие практические задачи:

1. Вычисление коэффициента корреляции для установления наличия (или отсутствия) корреляционной связи Y = f(X):

где

Х_i, Y_i - значения координат натурных точек;

X₀, Y₀ - средние арифметические значения рядов чисел X и Y.

Вычисленное значение коэффициента корреляции r_XY сравнивается с минимально допустимым значением r_min = 0,6 и при выполнении условия r_XY ³ r_min выполняются дальнейшие расчеты.

2. Ранжирование членов статистического ряда в убывающем порядке и вычисление эмпирической вероятности превышения элементов ряда:

где

т - порядковый номер члена ранжированного ряда;

п - общее число членов ряда;

- эмпирический параметр С.М. Бликштейна.

3. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции методом «наименьших квадратов»:

У = f(X) = В₀ + В₁Х + В₂Х² + В₃Х³ +...+ В_kХ^k, где ( 32.1)

В₀, В₁, ..., В_k - постоянные коэффициенты, подлежащие определению;

k - порядок аппроксимирующей функции (k = 1-5).

Основное положение метода «наименьших квадратов» состоит том, что сумма квадратов отклонений исходных величин от аппроксимирующей функции должна быть минимальной:

где

- значение искомой величины, полученное по аппроксимирующей зависимости и фактическое значение исходной величины.

Подставляя в выражение (32.1) все экспериментальные значения исходных точек (X_i, Y_i), получим систему из п начальных уравнений:

(32.2)

Если уравнение (32.2) записать в развернутом виде, то получим:

(32.3)

Переменными величинами в этом выражении являются коэффициенты В₀, В₁, ..., В_k и для них отыскиваются такие значения, при которых выражение (32.3) имеет наименьшую величину. Если для этой цели воспользоваться общим приемом дифференциального исчисления и найти частные производные выражения (32.3) по всем искомым коэффициентам В, приравняв их нулю, окончательно получим:

(32.4)

Система (32.4), состоящая из (k+1) линейных уравнений с (k+1) неизвестными коэффициентами В, решается одним из известных способов линейной алгебры (в программе «Gist» реализован «метод исключения Гаусса»). В результате этого решения определяются все (k+1) неизвестных коэффициента В аппроксимирующего уравнения (32.1).

На (рис. 32.1) представлены результаты статистической обработки по программе «Gist» максимальных уровней за 107-летний период наблюдений на р. Иртыш (водомерный пост г. Ханты-Мансийск).

Рис. 32.1. Кривая вероятностей максимальных уровней на р. Иртыш (в/п г. Ханты-Мансийск)

4. Определение среднеквадратического отклонения вычисленных ординат от ординат натурных точек и коэффициента детерминации.

5. Вычисление значений Y при Х_min £ Х £ Х_max с заданным шагом DХ.

6. Вывод на экран монитора или на принтер графика функции Y = f(X) при Х_min £ Х £ Х_max.

7. Вычисление значений X при заданных значениях Y.

8. Вычисление значений Y при заданных значениях X.

9. Вычисление значений гидрометеорологических величин следующих вероятностей превышения Р(%): 0,1; 0,33; 1; 2; 3; 5; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 85; 90; 95; 98; 99; 99,5; 99,9.

10. То же для усеченных кривых при (выше средней отметки поймы) Р(%): 0,1; 0,33; 1; 2; 3; 5; 10; 20; 30; 40; 50.

Результаты расчета выводятся на экран монитора, а также в виде таблиц и графиков на принтере (см. рис. 32.1).