II. Примеры решения тестов.
Приведём примеры билетов и образцы записи их решения
Билет №1
1н. Перемещением движущейся точки называют …
А. … линию, которую описывает точка в заданной системе отсчета;
Б. … пройденное расстояние от начальной точки траектории до конечной;
В. … вектор, проведенный из начального положения точки в ее положение в данный момент;
Г. … длину траектории.
2н. В Международной системе единиц физических величин скорость измеряется в …
А. … км/ч. Б. … м/с. В. … см/с. Г. … мм/с.
3с. Выразите показания спидометра (см. рисунок) в метрах в секунду.
А. меньше 25м/с. Б. от 30м/с до 40м/с.
В. От 40м/с до 55м/с. Г. Больше 60м/с.
К задаче 3с К задаче 4с
4с. По графику определите, сколько времени длилось равноускоренное движение тела.
А. 2с. Б. 4с. В. 6с. Г. 8с.
5д. Уравнения движения грузового и легкового автомобилей имеют вид соответственно х1 = 600 – 10t и х2 = t2. Определите время и координату их встречи.
А. 5 с, 550м. Б. 10с, 500м.
В. 15с, 450м. Г. 20с, 400м.
6д. Первые 5с тело двигалось равномерно и прямолинейно со скоростью 4м/с, а следующие 6с – с ускорением 2м/с2, направленым так же, как и скорость. Каково перемещение тела за всё время движения?
А-20м Б-36м В-40м Г-80м
7в. Автомобиль проехал половину пути со скоростью V1 = 90км/ч. Половину оставшегося времени он ехал со скоростью V2 = 20км/ч, а последний участок – со скоростью V3 = 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
Образец оформления ответа на билет №1
1н-В 3с-В 5д-Г
2н-Б 4с-Б 6д-Г
5д.
Решение
В момент встречи автомобилей их координаты должны быть равными, т.е. х1=х2 или t2=600-10t. Решая полученное уравнение, имеем
t2+10t-600=0 t1=20с t2=-30с
Значение t2-не соответствует физическому смыслу задачи. Поэтому время встречи t=20с .Значит, координата встречи автомобилей х=400м
6д.
Решение.
Пусть перемещение тела за всё время движения равно S. Тогда S=S1+S2. где S1=vt1, S2=vt2+at2/2. Значит, S=4*5+4*6+2*62/2=80(м)
7в.
Дано:
|
V1=90км/ч V2=20км/ч V3=40км/ч S1=S/2 t2=t3 |
Решение
По определению
средней скорсти По условию S1=S2+S3 t2=t3 Значит |
|
Vср-? |
преобразуем
это выражение с учётом следующих данных
S2=V2t2
S3=V3t3
Значит S2+
S3=
V2t2+
V3t3
или
Отсюда
окончательно
=
Подставляя числовые данные. получим
Ответ: Vср=45км/ч
Билет №2
1 н. Тело бросили вертикально вверх. Если сопротивление воздуха отсутствует, то ускорение тела …
А. … в верхней точке равно нулю;
Б. … больше всего перед падением на землю;
В. … в верхней точке изменяет направление.
Г. … на протяжении всего полёта одинаково.
2н. Основная задача механики состоит в определении …
А. … скорости тела в любой момент времени.
Б. … ускорение тела в любой момент времени .
В. … положение тела в любой момент времени.
Г. … направления движения тела.
3с. Пловец плывет против течения реки. Найдите скорость пловца относительно берега, если его скорость относительно воды 1,5 м/с, а скорость течения реки 0,5 м/с.
4с. На повороте при скорости 20м/с автомобиль движется с центростремительным ускорением 5м/с2. Определите радиус поворота.
А. Меньше 50м. Б. от 55м до 65м.
В. От 75м до 85м. Г. Больше 90м.
5д. Минутная стрелка часов вдвое длиннее часовой. У какой из них центростремительное ускорение конца стрелки меньше? Во сколько раз?
А. У часовой, в 24раза. Б. У минутной, в 24раза.
В. У часовой, в 288раз. Г. У минутной, в 288раз.
6д. Тело свободно падает с высоты 320м. Сколько времени оно будет падать и какой наибольшей скорости достигнет? Считайте g = 10м/с2.
А. 8с; 40м/с. Б. 10с;32м/с.
В. 3,2с; 100м/с. Г. 8с; 80м/с.
7в. Спортсмены бегут колонной со скоростью 2м/с. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью 3м/с. Поравнявшись с тренером, каждый спортсмен разворачивается и бежит со скоростью 5м/с. Какой будет конечная длина колонны, если её начальная длина 150м?
Примеры решения некоторых задач высокого уровня приведены ниже.
Пример 1. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за три минуты. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору метро?
|
Дано: t1=1мин=60с t2=3мин=180с ℓ1=ℓ2=ℓ
|
Решение Обозначим длину пути пассажира ℓ, а его скорость v2 , скорость эскалатора обозначим v1, время движения соответственно t1и t2. Тогда скорость, с которой будет пе- |
|
t=? |
ремещаться пассажир относительно земли, идя по движущемуся эскалатору, равна v1+ v2.Если искомое время обозначить t, тогда ℓ=( v1+ v2) t отсюда
,
где
,
.
После подстановки и упрощения получим рабочую формулу
.
Подставив числовые значения, получим t=75c
Пример
2. Радиус-вектор материальной точки
изменяется со временем по закону: `
(м). Найти:
а) скорость `v материальной точки,
б) ускорение `a материальной точки,
в) модуль скорости v в момент времени t1=1c,
г) приближенное значение пути, пройденного материальной точкой за 11-ю секунду движения,
д) модуль средней скорости за этот же промежуток времени.
Р
Дано: а)
г)
(м)
c
c
c
-?
б)
-? в)
-?
-?
д)
- ?
Физическая система, рассматриваемая в данной задаче, состоит из одной материальной точки, для которой задано уравнение движения. Следовательно, используя кинематические соотношения, можно найти скорость и ускорение материальной точки в любой момент времени.
а) Скорость материальной точки можно найти следующим образом:
(м/с),
(1)
б) ускорение:
(м/с2).
(2)
в) Чтобы найти модуль скорости в данный момент времени, получим выражение для модуля скорости как функции времени.
Из
(1.1) следует, что
,
,
.
Следовательно,
(м/с).
(3)
Для момента времени t1 получим:
(м/с).
г)
Для того, чтобы найти приближенное
значение пути, учтем, что для небольших
промежутков времени, путь приблизительно
равен модулю перемещения
.
Перемещение
.
Следовательно,
.
А модуль этого вектора будет равен:
(м),
м.
д) Вектор средней скорости определяется выражением, т.е.
(м/с),
а
его модуль
м/с.
Ответ:
а)
,
б)
,
в)
(м/с),
г)
м,
д)
м/с.
Пример 3. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое под углом 60 о к горизонту. Начальная скорость каждого тела = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость расстояния между телами от времени.
|
Дано:
|
Решение.
Рис.1 |
|
|
м/с
Физическая система состоит из двух тел. Будем рассматривать их движение относительно системы координат, центр которой расположен в точке бросания, ось Х направлена горизонтально в сторону движения тела 2, брошенного под углом, ось У – вертикально вверх. За начало отсчета времени t0 выберем момент бросания.
Изобразим на рис.1 как будут двигаться 1-е и 2-е тело. Как следует из рисунка, расстояние между ними в любой момент времени будет равно:
Чтобы найти зависимость координат x1, y1 и x2, y2 от времени, рассмотрим по отдельности движение каждого тела .
Движение тела 1.
Т.к. тело движется вертикально, то его координата Х в течение всего движения равна нулю. Следовательно, проекции скорости и ускорения на ось Х также равны нулю:
,
, (1)
.
Отсюда скорость этого тела:
,
а в начальный момент времени
.
(2)
Т.к. тело движется вверх в поле силы тяжести, то проекция его ускорения будет равна:
.
Знак
«-» указывает на то, что направление
вектора
противоположно
оси Y, на которую проецируется ускорение
1-го тела.
Учитывая,
что
,
получим
. (3)
Проинтегрируем (3) и получим
. (4)
С
учетом
с,
и
Получим
. (5)
Зная
,
можно найти, как изменяется с течением
времени координата Y
первого тела:
.
(6)
Следовательно,
. (7)
Проинтегрируем это выражение
, (8)
или
. (9)
Движение тела 2:
Тело брошено под углом к горизонту, следовательно, его начальная скорость имеет и горизонтальную, и вертикальную составляющие:
, (10)
. (11)
В соответствии с этим будем рассматривать движение этого тела как сумму двух движений – вдоль оси X и вдоль оси Y.
Рассмотрим движение тела 2 вдоль оси Х. Движение вдоль оси Х, будет равномерным (в этом направлении на тело никакие силы не действуют), т.е.
,
.
Учитывая,
что
і
,
получим
,
.
(12)
Рассмотрим движение тела 2 вдоль оси Y. В этом направлении тело будет двигаться с ускорением «-g», т.к. в вертикальном направлении действует сила тяжести.
По аналогии с 1-м телом можно записать (см. (3) - (5)):
.
или с учетом (11):
.
В итоге получаем:
,
,
.
Тогда искомое расстояние получим:
Ответ:
(м).
Пример 4. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны R = 50 м. Уравнение движения автомобиля x(t) = А + Вt + Сt2, где А = 10 м, В = 10 м/с, С = 5 м/с2. Найти: 1) скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени t1 = 5с, 2) длину пути и модуль перемещения автомобиля за интервал времени Dt =10с, отсчитанный с момента начала движения.
|
Дано:
|
Решение.
Подставим в это выражение В, С, t и произведем вычисления: |
|
м
(м)
c
c
.
,
,
,
–
?
,
- ?
м/с.
Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную модуля скорости по времени:
.
Подставим
значение С, получим:
м/с2.
Нормальное ускорение определяется по формуле
.
Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:
м/с2.
Выполним рисунок
Рис. 1
Полное ускорение, как это видно из рисунка 1, является геометрической суммой ускорений:
.
Абсолютное значение ускорения
.
Подставив в это выражение найденные значения at і an, получим:
м/с2.
-
Чтобы определить длину пути S, пройденного автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути S равна изменению криволинейной координаты x, т.е.
або
.
Подставим в полученное выражение значения В, С, t и произведем вычисления:
S=50 м.
Модуль перемещения, как это видно из рис.1.5, равен
,
где
a
- угол между радиус-векторами, определяющими
начальное x(0)
и конечное x(t)
положение автомашины на траектории.
Этот угол (в радианах) находим как
отношение длины пути S к радиусу кривизны
R траектории, т.е.
.
Таким
образом,
.
Подставим сюда значения R, S и произведем вычисления
м.
Ответ: a=1,12
м/с2,
м.
Пример 5. Система,
состоящая из цилиндрического катка
радиусом R и гири, связана невесомой и
нерастяжимой нитью, перекинутой через
блок, представлена на рис.1.3. Под действием
силы тяжести гири система приходит в
движение из состояния покоя. Определить
ускорение
центра масс катка и силу натяжения Т
нити. Какую скорость
приобретет гиря, если она опускается с
высоты
.
Масса цилиндра
,
масса гири
,
массой блока пренебречь. Считать, что
цилиндр катится по горизонтальной
поверхности без скольжения.
|
Дано: m1 m2 R H mН=0 lн=const mбл=0 |
Решение.
Рис. 1.3 |
|
а
- ? Т - ?
|
-
?
В физическую
систему включаем цилиндрический каток
и гирю, связанные нитью. Рассмотрим
движение катка относительно оси
, проходящей
через его центр масс и совпадающей с
осью симметрии цилиндра. Каток вращается
относительно
, а центр
масс катка движется прямолинейно
(рис.1.3).
На каток действуют силы: сила тяжести
,
сила реакции опоры
,
сила трения
и сила
натяжения
.
На основании второго закона Ньютона
для прямолинейного движения катка можно
записать:
г
де
- ускорение
центра масс катка. В проекциях на оси
имеем:
(1)
Уравнение динамики вращательного движения катка относительно точки О имеет вид:
(2)
Ось
проходит через точку O и является главной
осью вращения, поэтому уравнение динамики
вращательного движения катка относительно
оси
можно записать в таком же виде, как и
выражение (2). Только в этом случае
и I - угловое ускорение и момент инерции
катка относительно оси OO’.
Причем
(3)
(4)
Раскрывая векторное
произведение
и учитывая,
что угол между этими векторами равен
p/2,
а также на основании выражений
(3) и
(4) уравнение
(2) можно
записать в виде:
(5)
Рассмотрим
поступательное движение гири. Уравнение
движения имеет вид
.
В проекции на ось имеем:
(6)
В связи с тем, что
нить нерастяжима
,
;
а
так
как
нить невесома, то на основании второго
и третьего законов Ньютона можно
показать, чтоT1
= T2
= T, где
T - сила
натяжения нити.
У
читывая
приведенные равенства, и решая совместно
уравнения (1),
(3), (5), (6),
получаем
Д
вижение
гири
-
равноускоренное без начальной скорости.
Следовательно,
,
откуда
О
твет:
П
ример
6
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
Найти уравнение траектории.
|
Дано:
|
Решение 1) В исходных данных уравнение траектории задано в параметрическом виде (т.е. как х(t); y = y(t)).
|
|
у = у(х) - ? |
Чтобы найти уравнение траектории в координатной форме (т.е. как у=у(х)) , необходимо исключить время t.
Для этого
воспользуемся тригонометрической
формулой
.
В данном случае
,
т.е.
или
или
(1)
(2)
или вычитаем из уравнения (1) уравнение (2),
Получилось уравнение параболы, вершина которого находится в т.С (0;1).
Пример 7
Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l = 120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период колебаний имеет наименьшее значение?
|
Дано: l = 1,2 м Т = Тmin |
Решение: 1)Период колебания физического маятника
|
|
X - ? |
,где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний (в данном случае т.О), Х – расстояние центра тяжести маятника от оси колебаний.
2) Момент инерции данного физического маятника (стержня) запишем с учетом теоремы Штейнера, как
Тогда период колебаний запишется как
(1)
-
Найдем экстремум функции Т = Т(х) (ф-ла 1). Для этого вычислим
:
Решим уравнение
= 0, т.е.
Отсюда
.
Подходит
.
При х = 0,
,
а при
значение
.
Если при
<
,
то тем самым докажем, что при
найдено
.
Вычислим
.
.
Тогда
<
1.