3.1.3 Моменти
Початковим
моментом
порядку
випадкової величини
називають математичне сподівання
величини
.
Центральним
моментом порядку
випадкової
величини
називають математичне сподівання
величини
:
μk = М(Х - МХ)k.
3.1.4 Оцінка відхилення теоретичного розподілу від нормального. Асиметрія та ексцес
При вивченні розподілів, відмінних від нормального, виникає необхідність кількісно оцінити цю розбіжність.
З цією метою вводять спеціальні характеристики: асиметрію та ексцес. Для нормального розподілу вони дорівнюють нулю.
Тому якщо для досліджуваного розподілу вони мають невеликі значення, то можна припустити близькість цього розподілу до нормального і навпаки.
Асиметрією теоретичного розподілу називають величину
As=μ3/σ3.
Для симетричних розподілів центральні моменти непарних порядків дорівнюють 0, а отже, і As =0.
Якщо As > 0, то крива розподілу більш полога праворуч від М0 (Х) (рис. 3.3).
Якщо As < 0, то крива розподілу більш полога ліворуч від М0 (Х) (рис. 3.4).
Рисунок 3.3 – Крива розподілу для Аs > 0
Рисунок 3.4 – Крива розподілу для Аs < 0
Для оцінки «крутості», тобто більшого або меншого підйому теоретичного розподілу в порівнянні з нормальною кривою користуються характеристикою ексцес.
Ексцес теоретичного розподілу
.
Для нормального розподілу μ4/σ4=3, отже, Ek=0.
Тому якщо Ek>0, то крива має більш високу і «гостру» вершину.
Якщо Еk<0, то теоретично крива має більш низьку і «плоску» вершину. При цьому вважають, що математичне сподівання і дисперсія однакові для нормального закону розподілу і теоретичного розподілу.
Рисунок 3.5 – Залежність форми кривої розподілу від
значення Еk
3.2 Розподіл χ2 (розподіл Пірсона)
Нехай маємо n незалежних випадкових величин 1, 2, ..., n, розподілених за нормальним законом з математичним сподіванням, що дорівнює нулю, і дисперсією, що дорівнює одиниці. Тоді випадкова величина
розподілена за законом, що називається “розподіл 2” або “розподіл Пірсона”. Очевидно, що вона може набирати лише невід’ємні значення. Число n називається числом ступенів вільності, χ2 – розподіл залежить тільки від n.
При n > 1 графік щільності розподілу випадкової величини 2 являє собою криву, зображену на рис. 3.6.
Рисунок 3.6 – Графік щільності розподілу 2
Зі зростанням числа ступенів вільності n розподіл наближається до нормального закону розподілу (при n > 30 розподіл практично не відрізняється від нормального).
Математичне сподівання М(X)= n, дисперсія дорівнює 2n.
На практиці, як правило, використовують не щільність ймовірності, а квантилі розподілу. Квантилем розподілу 2, що відповідає рівню значущості , називається таке значення 2, при якому
P(2 > 2) = .
Ця формула означає: ймовірність того, що випадкова величина 2 набере значення більше, ніж визначене значення 2, дорівнює .
Значення квантилів наводяться у спеціальних таблицях-додатках.
Таблиця 3.1 являє собою фрагмент таблиці розподілу 2. З нього видно, що випадкова величина 2 з десятьма ступенями вільності з ймовірністю α = 0,95 набирає значення більше, ніж 3,94, а та ж величина з одним ступенем вільності з ймовірністю α = 0,975 перевищує значення 0,00098.
Таблиця 3.1 – Фрагмент таблиці розподілу 2
|
α n |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
... |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
|
1 |
0,0315 |
0,0398 |
0,0239 |
... |
2,71 |
3,84 |
6,63 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
10 |
2,56 |
3,25 |
3,94 |
... |
16,0 |
18,3 |
23,2 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |