4.3 Емпіричний закон розподілу

Нехай вивчається якась випадкова величина X. Із цією метою над випадковою величиною X проводять ряд незалежних спостережень. У кожному з цих випробувань величина X набирає те або інше значення.

Нехай вона прийняла n₁ разів значення х₁, n₂ разів - значення х₂,..., n_к разів – значення х_к. При цьому n₁+ n₂+...+ n_к = n – обсяг вибірки. Значення х₁, х₂,..., х_к називаються варіантами випадкової величини X.

Вся сукупність значень випадкової величини X являє собою первинний статистичний матеріал, що підлягає подальшій обробці, насамперед упорядкуванню.

Операція розташування значень випадкової величини (ознаки) за неспаданням називається ранжуванням статистичних даних.

Отримана в такий спосіб послідовність х₁,х₂,…x_n значень випадкової величини X (де х₁≤х₂≤…≤х_п та x₁ = min_1≤і≤пХ_і, … х_п = max_1≤і≤пХ_і) називається варіаційним рядом.

Числа п_і, що показують, скільки разів зустрічаються варіанти x_і у ряді спостережень, називаються частотами, а відношення їх до обсягу вибірки – відносними частотами (р_і*), тобто

, де _.

Перелік варіантів і відповідних їм частот або частостей називається статистичним розподілом вибірки або статистичним рядом.

4.3.1 Статистичний розподіл у вигляді таблиці

Записується статистичний розподіл у вигляді таблиці. Перший рядок містить варіанти, а другий – їх частоти n_і (або частості р_і*).

Статистичний розподіл вибірки є оцінкою невідомого розподілу. Відповідно до теореми Бернуллі відносні частоти р_і* сходяться при п → ∞ до відповідних ймовірностей p_і. Тому при великих значеннях n статистичний розподіл мало відрізняється від розподілу випадкової величини.

У випадку, коли число значень ознаки X велике або ознака є неперервною, складають інтервальний статистичний ряд. У перший рядок таблиці статистичного розподілу вписують часткові проміжки [х₀,х₁), [х₁,х₂),..., [x_k-і,х_к), які беруть звичайно однаковими по довжині: h = х₁- x₀ = x₂-х₁=... Для визначення величини інтервалу (h) можна використати формулу Стерджеса

,

де – log₂ n ≈ 3,322 lg n.

За початок першого інтервалу рекомендується брати величину х_поч=хmіn-h/2. У другий рядок статистичного ряду вписують кількість спостережень n_i,, що потрапили в кожний інтервал.

4.3.2 Графічне зображення статистичного розподілу

Статистичний розподіл зображується графічно у вигляді так званих полігона та гістограми. Полігон, як правило, служить для зображення дискретного статистичного ряду.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з'єднують точки з координатами (x₁,n₁), (х₂,п₂),..., (x_k,n_k); полігоном частостей – точки з координатами з координатами (x₁,р₁*), (х₂,р₂*),..., (x_k,р_k*). Полігон частостей є статистичним аналогом многотокутника розподілу.

Для неперервної розподіленої ознаки можна побудувати полігон частот, взявши середини інтервалів як значення х₁,х₂,... ,х_к. Найчастіше використовується так звана гістограма.

Гістограмою частот (частостей) називають східчасту фігуру, що складається із прямокутників, основою яких служать часткові інтервали довжини h, а висоти дорівнюють відношенню n_i /h – щільності частоти (або р_i* /h –щільності частості).

Вважається, що інтервалів повинно бути 12-15, при цьому в інтервал повинно попадати не менше 5-6 реалізацій, кількість випробувань n>300.

За виглядом гістограми можна визначити вигляд розподілу.