5.4 Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією

На практиці ця гіпотеза перевіряється, якщо потрібно перевірити, чи відповідає точність приладів, інструментів, методів та ін. необхідному стандартові.

Наприклад: відоме припустиме розсіювання розміру ₀, а верстат забезпечує S (обчислено за вибіркою). Якщо S значно відрізняється від ₀, то верстат вимагає налагодження.

Критерій перевірки

, (5.10)

розподіл Пірсона з k = n – 1 ступенями вільності.

H₀: S² = ₀²,

Н₁: S² > ₀².

_кр² обчислюємо, як розв’язок рівняння

Р(² > _кр²) = α.

Якщо _р < _кр – H₀ приймається.

Приклад. Партія виробів приймається, якщо дисперсія контрольованого розміру суттєво не перевищує 0,12. Виправлена вибіркова дисперсія, знайдена за вибіркою розміром N=13 дорівнює 0,146. Чи можна прийняти партію при рівні значущості ?

H₀: S² = ₀², Н₁: S² > ₀².

Критерій перевірки

,

χ²_кр= ХИ2ОБР(0,01; 12)=26,2.

Оскільки χ²_р < χ²_кр приймаємо гіпотезу Н₀, тобто розбіжності між виправленою дисперсією 0,146 і генеральною дисперсією 0,12 можна вважати несуттєвими. Висновок: партію можна прийняти.

5.5 Перевірка гіпотез про середні для нормальної генеральної сукупності

Можливі такі постановки задач:

1. Порівняння показників контрольної і експериментальної вибірок. У нас є 2 незалежні вибірки; середні значення деяких параметрів ми хочемо порівняти. Наприклад: 2 групи хворих, лікування яких проводилося різними методами. Можливі такі випадки:

• вибірки невеликого обсягу (n<30):

- дисперсії вибірок рівні;

- дисперсії вибірок не рівні;

• без припущення про дисперсії (вибірки великі n>30);

2. Порівняння показників вибірки до і після експерименту. У цьому випадку ми маємо справу з так званими зв'язними вибірками. Наприклад, показники твердості матеріалу до і після відповідної обробки (загартування). «Вибірки, що відповідним чином розбиваються на пари».

3. Чи можна вважати, що деяке значення показника дорівнює деякому нормальному значенню. Наприклад, у медицині: артеріальний тиск, пульс, гемоглобін та ін.

5.5.1 Перевірка гіпотези про рівність середніх при рівних дисперсіях (малі вибірки n<30)

Умови:

1. Вибірки розподілені нормально.

2. Дисперсії невідомі й однакові: .

3. Дані незалежні.

Використовується критерій Стьюдента :

(5.11)

з k=n1+n2-2 ступенями вільності,

де обсяг вибірок;

середні значення;

виправлені дисперсії.

Залежно від вигляду конкуруючої гіпотези можливі такі випадки.

1. Для, того щоб при заданому рівні значущості α перевірити нульову гіпотезу Н₀: про рівність середніх двох нормальних сукупностей з невідомими, але однаковими дисперсіями (у випадку незалежних малих вибірок) при конкуруючій гіпотезі Н₁: , треба обчислити розрахункове значення критерію:

і за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, за заданим рівнем значущості α (розміщеним у верхньому рядку таблиці) і числом ступенів вільності k=n1+n2–2 знайти критичну точку t_{двост. кр} (α; k), як розв’язок рівняння .

Якщо | t_p| < t_{двост.кр} – немає підстави відкидати нульову гіпотезу Н₀: .

Якщо | t_p| > t_{двост.кр} – нульову гіпотезу відхиляють і приймають гіпотезу Н₁: .

2 Нульова гіпотеза Н₀: . Конкуруюча гіпотеза Н₁: . У цьому випадку будують правобічну критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність попадання критерію t у цю область у припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала прийнятому рівню значущості α:

.

Критичну точку t _{кр правост} знаходять за таблицею за рівнем значущості α (розміщеним у нижньому рядку таблиці) і за числом ступенів вільності k=n1+n2–2.

Якщо _р  , немає підстави відкидати нульову гіпотезу Н₀: .

Якщо _р > – нульову гіпотезу відхиляють і приймають гіпотезу Н₁: .

3 Нульова гіпотеза Н₀:. Конкуруюча гіпотеза Н₁: . У цьому випадку будують лівосторонню критичну область, виходячи з вимоги, щоб ймовірність влучення критерію t в цю область у припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала прийнятому рівню значущості α:

^.

Через симетрію розподілу Стьюдента відносно нуля

= –.

Тому спочатку знаходять "допоміжну" критичну точку так, як описано у другому випадку, і вважають, що

= – .

Якщо >– – відкидати нульову гіпотезу немає підстав.

Якщо _р<– нульову гіпотезу відкидають.

Ці правила можна скорочено надати у вигляді таблиці 5.2.

Для обчислення критичного значення критерію можна використовувати функцію Excel СТЬЮДРАСПОБР(α,k). Однак слід пам’ятати, що вона повертає t_{кр. двостороннє} і для обчислення одностороннього значення t_кр рівень значущості α треба подвоювати СТЬЮДРАСПОБР(2α,k).

Таблиця 5.2 – Правила вибору правильної гіпотези

1-й випадок	2-й випадок	3-й випадок
		<
– двостороння критична точка Якщо |р |, приймаємо H0 Якщо | р |>, приймаємо H1 ≠	–однобічна (правостороння) критична точка Якщо р , приймаємо H0 Якщо р >, приймаємо H1 	– однобічна (лівостороння) критична точка =- Якщо >–, приймаємо H0 Якщо р<–, приймаємо H1 <
В Excel при використанні СТЬЮДРАСПОБР
α	2* α	2* α

Використання пакета аналізу значно спрощує розрахунки. Обираємо в меню Сервис – Анализ данных – Двухвыборочный t – тест с одинаковыми дисперсиями. З’являється вікно

Інтервал змінної 1. Введіть посилання на перший діапазон аналізованих даних. Діапазон повинен складатися з одного стовпця або одного рядка.

Інтервал змінної 2. Введіть посилання на другий діапазон аналізованих даних. Діапазон повинен складатися з одного стовпця або одного рядка.

Гіпотетична середня різниця. Введіть число, що дорівнює передбачуваній різниці середніх. Значення 0 (нуль) вказує, що середні беруться рівними.

Заголовки. Установіть прапорець, якщо перший рядок або перший стовпець вхідного інтервалу містить заголовки. Зніміть прапорець, якщо заголовки відсутні; у цьому випадку підходящі назви для даних вихідного діапазону будуть створені автоматично.

Альфа. Введіть рівень надійності для тесту. Його значення повинне перебувати в діапазоні 0 – 1.

Вихідний діапазон. Введіть посилання на ліву верхню комірку вихідного діапазону. Розмір вихідного діапазону буде визначений автоматично, і на екран буде виведене пові-домлення у випадку можливого накладення вихідного діапазону на вхідні дані.

Новий лист. Встановіть перемикач, щоб відкрити новий аркуш у книзі й вставити результати аналізу, починаючи з комірки A1. Якщо в цьому є необхідність, введіть ім'я нового аркуша в поле, розташоване напроти відповідного положення перемикача.

Нова книга. Встановіть перемикач, щоб відкрити нову книгу і вставити результати аналізу в комірку A1 на першому аркуші в цій книзі.

Натисніть кнопку ОК. З’явиться таблиця з розрахунками.

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	3	4
Дисперсия	2,5	2,5
Наблюдения	5	5
Объединенная дисперсия	2,5
Гипотетическая разность средних	0
df	8
t-статистика	-1
P(T<=t) одностороннее	0,173296754
t критическое одностороннее	1,85954832
P(T<=t) двухстороннее	0,346593507
t критическое двухстороннее	2,306005626

Як видно з таблиці, Excel дозволяє отримати всю необхідну інформацію для розв’язання поставленої задачі. Пояснимо, що df – кількість ступенів вільності, t-статистика – розраховане значення t_р, t критическое одностороннее – відповідно , t критическое двухстороннее – t_{двост. кр.}.

Обираємо t критическое двухстороннее – для випадку 1, t критическое одностороннее – для випадків 2 та 3.

Приклад. Є мережа аптек. Протягом місяця проводилася реклама препаратів. Необхідно перевірити гіпотезу про те, що середній обсяг реалізації збільшився на 3 тис. грн із рівнем значущості α=0,05.

Обсяг реалізації за місяць, тис.грн

	1	2	3	4	5	6	7	8
До реклами	13	23	12	11	24	34	32	18
Після реклами	20	24	11	17	28	34	39	24

1. Перевірити, чи можна вважати значення розподілів нормальним. Будемо використовувати наближений критерій

_{Обчислюємо:}

=20,875, =24,625,

_{Δабс1=7,375, (СРОТКЛ(<діапазон>),}

_{Δабс2=6,78,}

_{Перевіряємо умову}

 ,

0,029<0,14 , 0,048<0,14.

Умови виконуються, отже, вибірки підкоряються нормальному закону розподілу.

2. Перевіряємо гіпотезу про рівність дисперсій:

F_кр знаходимо з рівняння ; α/2=0,025.

Використовуємо Сервис – Анализ данных – Двухвыборочный F-тест.

Отримаємо такі дані:

Двухвыборочный F-тест для дисперсии
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	24,625	20,875
Дисперсия	81,69642857	79,55357143
Наблюдения	8	8
df	7	7
F	1,026936027
P(F<=f) одностороннее	0,48646589
F критическое одностороннее	4,99

F_p = 1,0269 , F_кр= 4,99 . Оскільки F_p < F_кр , приймаємо гіпотезу Н₀, дисперсії рівні.

3 Використовуючи Сервис – Анализ данных– Двухвыборочный t-тест з одинаковыми дисперсиями, перевіряємо гіпотези

H₀: = -3; H₁: ≠ -3.

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	20,875	24,625
Дисперсия	79,55357143	81,69642857
Наблюдения	8	8
Объединенная дисперсия	80,625
Гипотетическая разность средних	3
df	14
t-статистика	0,167
P(T<=t) одностороннее	0,077467216
t критическое одностороннее	1,76
P(T<=t) двухстороннее	0,154934432
t критическое двухстороннее	2,145

Як бачимо з таблиці t _p=0,167, t _{кp.двост}=2,145. Оскільки t_p< , то середні значення рівні.

Висновок. Можна вважати, що середній обсяг реалізації збільшився на 3 тис. грн.