4.6 Довірчий інтервал

Точковою називають оцінку, що визначається одним числом. Всі оцінки, розглянуті вище, – точкові.

Інтервальною називають оцінку, що визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Нехай знайдена за даними вибірки точкова характеристика Q^* , яка служить оцінкою невідомого параметра Q. Будемо вважати Q=const. Q^* тим точніше визначає Q, чим менше абсолютна величина | Q - Q^* | , тобто якщо δ>0 і | Q - Q^* | <δ , то чим менше δ, тим оцінка точніша. δ – характеризує точність оцінки.

Надійністю (довірчою імовірністю) оцінки Q по Q^* називають ймовірність γ, з якою оцінюють нерівність |Q–Q^* |<δ.

P( | Q- Q^* | <δ ) = γ.

Найчастіше задають γ = 0,95; 0,99 і 0,999.

Перейшовши до подвійної нерівності, отримаємо

P(Q^* - δ < Q < Q^* + δ ) = γ.

Ймовірність того, що інтервал містить в собі невідомий параметр Q, дорівнює γ. Довірчим називають інтервал , що покриває невідомий параметр із заданою надійністю γ.

4.6.1 Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому 

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально і  невідоме. Побудуємо випадкову величину

, (4.1)

яка має розподіл Стьюдента з k=n-1 ступенями вільності, де а – математичне сподівання; - середнє значення; S - стандартне відхилення.

Визначимо значення t_ з рівняння

, (4.2)

де  – задана надійність. визначаємо за допомогою таблиці, або функції Excel = СТЬЮДРАСПОБР (1- γ; n-1).

Підставимо значення Т (4.1) в рівняння (4.2). Отримаємо

Користуючись розподілом Стьюдента, ми знайшли довірчий інтервал , що покриває невідомий параметр а з надійністю γ.

Приклад. За даними 9 незалежних вимірювань фізичної величини знайдене =42,319 і величини S=5,0. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю γ=0,95.

Істинне значення вимірюваної величини дорівнює математичному сподіванню, тому задача зводиться до оцінки математичного сподівання при невідомому σ за допомогою довірчого інтервалу:

,

який покриває a із заданою надійністю γ=0,95. Використовуючи СТЬЮДРАСПОБР(1-0,95; 9-1), знаходимо, що t_r=2,3,

=2,31* =3,85.

Отже, довірчий інтервал, що з надійністю γ=0,95 покриває істинне значення вимірюваної величини:

38,469< a <46,169.

Для n=25, t_γ =2,09, отже довірчий інтервал, що з надійністю γ=0,95 покриває істинне значення вимірюваної величини

42,319 – 3,48< a <42,319 + 3,48 ,

38,839<a<45,799.

Як бачимо, при збільшенні кількості випробувань довірчий інтервал звужується.

4.6.2 Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення (нормальний розподіл)

Можна показати, що якщо MX=а невідоме, то довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення має вигляд:

,

де – критичне значення ² розподілу з (n-1) ступенями вільності з рівнем значущості α₁=;

– критичне значення ² розподілу з (n-1) ступенями вільності з рівнем значущості α₂=.

Таблиця для випадкової величини ² звичайно задається розв’язком рівняння .

За таблицею для заданої величини q і за числом ступенів вільності n-1 визначаємо (функція EXCEL ХИ2ОБР(q; n-1)).

Приклад. За даними 20 вимірювань знайдене «виправлене» середньоквадратичне відхилення S=0,12. Знайти точність вимірів з надійністю 0,98. Точність вимірів характеризується середнім квадратичним відхиленням σ випадкових помилок. Тому задача зводиться до знаходження довірчого інтервалу, що покриває σ із заданою надійністю (0,98).

Використовуючи функцію ХИ2ОБР(q, n-1), знайдемо і . Для ступенів вільності n - 1=19 і ймовірності α₂=(1-0,98)/2=0,01 знаходимо =36,2, а потім для n - 1=19 і ймовірності α₁=(1+0,98)/2=0,99 знаходимо =7,63.

=ХИ20БР(0,01; 19)=36,2 ;

=ХИ20БР(0,99;19)=7,63.

Знаходимо

Шуканий довірчий інтервал (0,09;0,19).