5.5.4 Перевірка гіпотези про рівність середніх при зв'язаних вибірках

Призначення: перевірка рівності середніх двох генеральних сукупностей, з яких витягнуті дві вибірки, за умови, що вибірки пов'язані. Наприклад, значення якихось параметрів до й після лікування, значення твердості сталі до і після загартування та ін.

Обидві вибірки витягнуті із сукупності, що має нормальний розподіл. Дані незалежні. Вибірки пов'язані.

Критеріальне значення обчислюється за формулою

Це t – розподіл Стьюдента з k=N-1 ступенями вільності.

Правила вибору правильної гіпотези аналогічні 5.5.1 (таблиця 5.2).

Пакет Анализ данных – Парный двухвыборочный t-тест для средних.

Приклад. При дослідженні згортання крові до і після лікування вимірювали рівень фібриногену. Чи мала дана терапія вплив на активність тромбоцитів? Рівень значущості =0,05.

До лікування	1	1,3	1,4	0,9	1,2	1,8	1,1	1,1	0,7	0,8
Після лікування	0,9	1,3	1,0	0,8	1,1	1,6	0,9	0,9	0,6	0,6

Висуваємо гіпотези:

Н₀ : , Н₁ : ^.

Парный двухвыборочный t-тест для средних
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	1,13	0,97
Дисперсия	0,102333333	0,093444444
Наблюдения	10	10
Корреляция Пирсона	0,941947543
Гипотетическая разность средних	0
df	9
t-статистика	4,706787243
P(T<=t) одностороннее	0,000554759
t критическое одностороннее	2,262158887
P(T<=t) двостороннее	0,001109517
t критическое двостороннее	2,685010259

Як видно з таблиці, t_р=4,707, t _кр= 2,685. Оскільки t_р > t_кр, приймаємо гіпотезу Н₁.

Висновок: Дана терапія впливає на активність тромбоцитів.

5.5.5 Порівняння вибіркової середньої (з генеральної нормальної сукупності) із заданим а

Будуємо випадкову величину, що має розподіл Стьюдента

,

з N-1 ступенями вільності, де N – розмір вибірки, S – середнє квадратичне відхилення.

1 Випадок перевірки гіпотез

Н₀: , H₁: .

Якщо |_р | t _{кр.двостороннє} приймаємо H_{0 ,}

|_р |> t _{кр.двостороннє} приймаємо H_{1 .}

2 Перевіряємо гіпотези

Н₀: , H₁: .

При заданому рівні значущості α знаходимо t_{кр.правостороннє} з рівняння

.

– однобічна (правостороння) критична точка.

Якщо _р , приймаємо H₀ : .

Якщо _р >, приймаємо H₁: .

3. Перевіряємо гіпотези

Н₀: , H₁: .

При заданому рівні значущості α знаходимо t_{кр.лівосторннє} з рівняння

,

– однобічна (лівостороння) критична точка. = – .

Якщо _р>–, приймаємо H_{0 .}

Якщо _р<–, приймаємо H_{1 .}

Приклад. Вимірювали рівень гемоглобіну в групі пацієнтів до і після лікування. Визначити, чи було лікування ефективним, і чи відповідає нормі 120 рівень гемоглобіну у пацієнтів до і після лікування. Рівень значущості =0,05.

До лікування	Після лікування
90	100
130	130
100	140
80	90
110	120
130	150
90	110
90	110
60	70
60	80

Перевіряємо, чи вплинуло лікування на рівень гемоглобіну. Для цього перевіряємо рівність середніх для пов’язаних вибірок.

Висуваємо гіпотези:

H ₀: _{після лікування} = _{до лікування}

H ₁: _{після лікування} > _{до лікування}

Пакет Анализ данных – Парный двухвыборочный t-тест для средних .

Отримаємо таблицю

Парный двухвыборочный t-тест для средних
	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	94	110
Дисперсия	604,444444	666,6666667
Наблюдения	10	10
Корреляция Пирсона	0,91018205
Гипотетическая разность средних	0
df	9
t-статистика	-4,7067872
P(T<=t) одностороннее	0,00055476
t критическое одностороннее	2,26215889
P(T<=t) двустороннее	0,00110952
t критическое двустороннее	2,68501026

| t-статистика | > t критическое одностороннее, отже, лікування вплинуло на рівень гемоглобіну.

Перевіримо, чи відповідає нормі цей показник до і після лікування. Для цього обчислимо

t_р1 – до лікування, _{до лікування}=94,

;

t_р2 – після лікування, _{після лікування}=110,

.

Критичне значення обчислюємо за допомогою функції Excel

t_кр = СТЮДРАСПОБР(0,05; 9)= 2,262.

|t _{р до лікування} | > t _кр => показник гемоглобіну до лікування не задовольняє нормі.

|t _{р після лікування} | < t _кр => показник гемоглобіну після лікування задовольняє нормі.