Питання і завдання до розділу 3
1 Нормальний закон розподілу та його основні параметри.
2 Як впливає зміна параметрів m та σ на форму кривої Гаусса?
3 Стандартний нормальний закон розподілу та його основні параметри.
4 Як обчислюється ймовірність попадання випадкової величини X ~ N(m, σ) на заданий проміжок (x1;x2)?
5 Формула для обчислення ймовірності заданого відхилення від математичного сподівання.
6 Правило трьох сигм. Як його застосовують на практиці?
7 Функції Excel для роботи з нормальним розподілом.
8 Що характеризує асиметрія?
9 Що характеризує ексцес?
10 Дайте визначення розподілу Пірсона. Функції Excel для роботи з цим розподілом.
11 Дайте визначення розподілу Стьюдента. Функції Excel для роботи з цим розподілом.
12 Дайте визначення розподілу Фішера. Функції Excel для роботи з цим розподілом.
Лабораторна робота Тема. Нормальний закон розподілу
За допомогою можливостей Excel знайти ймовірність попадання у заданий інтервал (α,β) нормально розподіленої випадкової величини Х , якщо відомі її математичне сподівання М і середнє квадратичне відхилення σ.
Знайти ймовірність відхилення випадкової величини від математичного сподівання не більше ніж на δ.
Побудувати :
-
функцію щільності розподілу;
-
функцію розподілу.
Нанести на графік значення математичного сподівання та інтервали (М±σ), (М±3σ).
|
Варіант |
α |
β |
М |
σ |
δ |
|
1 |
2 |
13 |
10 |
4 |
6 |
|
2 |
5 |
14 |
9 |
5 |
4 |
|
3 |
6 |
9 |
8 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
10 |
7 |
2 |
4 |
|
5 |
2 |
11 |
6 |
3 |
5 |
Вказівка. Для розрахунку інтервалу можливих значень Х використайте правило трьох сигм.
4 Вибірковий метод
4.1 Теорема Чебишева
Якщо
– попарно незалежні випадкові величини,
причому дисперсії їх рівномірно обмежені
(тобто не перевищують деяке число С),
то яким би малим не було
,
ймовірність нерівності
буде як завгодно близька до 1, якщо число випадкових величин досить велике.
.
Якщо
MX1=…=MXn=a,
.
Сутність:
середнє арифметичне досить великого
числа незалежних випадкових величин
втрачає характер випадкової величини.
Значення: на цій теоремі базується широко застосовуваний у статистиці вибірковий метод, суть якого полягає в тому, що за порівняно невеликою вибіркою судять про всю сукупність досліджуваних об'єктів.
4.2 Основні поняття вибіркового методу
Нехай потрібно вивчити сукупність однорідних об'єктів щодо деякої якісної або кількісної ознаки (якщо є партія деталей: якісний – відповідність стандарту, кількісний – контрольований розмір).
Іноді проводять суцільне обстеження, тобто досліджується кожен об'єкт. На практиці таке обстеження застосовується порівняно рідко. Якщо обстеження пов'язане зі знищенням об'єкта або вимагає великих матеріальних витрат, то проводити суцільне обстеження немає сенсу. У таких випадках із усієї сукупності випадково відбирають обмежене число об'єктів і піддають їх вивченню.
Вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.
Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з яких проводиться вибірка.
Для побудови адекватної стохастичної моделі нам необхідно визначити закон розподілу та його основні параметри для генеральної сукупності на основі інформації, отриманої з аналізу вибірки.
Метод статистичного дослідження, який полягає в тому, що на основі вивчення вибіркової сукупності робиться висновок про всю генеральну сукупність, називається вибірковим.
Для одержання достовірних оцінок характеристик генеральної сукупності необхідно, щоб вибірка була репрезентативною (або представницькою), тобто вона повинна досить повно представляти досліджувані ознаки генеральної сукупності. Умовою забезпечення репрезентативності вибірки є відповідно до закону великих чисел дотримання випадковості відбору, тобто всі об'єкти генеральної сукупності повинні мати рівні ймовірності потрапити у вибірку.
На практиці часто буває так, що вигляд закону відомий заздалегідь, тому задача зводиться до визначення невідомих параметрів, їх оцінки за обмеженим числом вимірювань.
Для визначення вигляду закону і його параметрів необхідно виконати ряд дій, пов’язаних з аналізом отриманих даних.