5.2 Поняття про параметричну, непараметричну і робастну статистику

При перевірці будь-якої гіпотези необхідно спиратися на якусь сукупність припущень, з яких і виводяться формули, необхідні для цієї перевірки. При цьому серед інших завжди наявні припущення про закон розподілу.

Невиконання цих передумов робить некоректним застосування відповідних методів.

Параметричні методи припускають конкретний розподіл. Ці методи строго обґрунтовані і добре вивчені. Проблема в тому, що в багатьох практичних задачах передумови нормальності розподілу не виконуються.

Робастні методи припускають конкретний розподіл, але допускають відхилення від нього. Форма і величина відхилень залежать від конкретного методу.

Непараметричні методи не роблять конкретних припущень про закон розподілу – тільки найзагальніші (наприклад, обидві вибірки мають один закон розподілу). Вони досить строго обґрунтовані, але для багатьох багатовимірних задач таких методів не існує.

Надалі ми будемо розглядати критерії, в основі яких лежить припущення про нормальний закон розподілу.

Точна перевірка (критерій Пірсона) досить трудомістка, і обсяг вибірки повинен бути досить великим ( n>50), тому використовують перевірку умов, що є наслідком з нормального закону розподілу.

I Для вибірок невеликого обсягу можна використовувати такий метод:

1. знаходять середнє абсолютне відхилення:

Δ _абс = сроткл(<діапазон>);

1. знаходять виправлене середнє квадратичне відхилення S (СТАНДОТКЛОН(<діапазон>));

2. перевіряють умову

_(5.7)

Якщо ця умова виконується, то можна вважати, що гіпотеза про нормальний розподіл не суперечить наявним даним.

II Для вибірок досить великого обсягу можна використовувати такий метод:

обчислюють і перевіряють комплекс умов:

99,7 % відхилень від середнього менше 3σ;

2/3 (68,3%) відхилень < σ;

половина відхилень < 0,625 σ.

Якщо ці умови виконуються, то можна вважати, що гіпотеза про нормальний розподіл не суперечить наявним даним.

III У випадку нормального розподілу оцінки асиметрії () і ексцесу (E_k) мають нормальні вибіркові розподіли, причому математичне сподівання кожного з них дорівнює нулю, а дисперсії визначаються виразами

,

На практиці можна користуватися таким наближеним критерієм згоди

, . _(5.8)

Дані критерії є наближеними, однак прийнятні при практичних дослідженнях.

5.3 Порівняння двох дисперсій нормальної генеральної сукупності

На практиці задача порівняння дисперсій виникає, якщо потрібно порівняти точність приладів, інструментів, методів вимірювань та ін. Кращим є той прилад або метод, що забезпечує найменше розсіювання результатів, тобто меншу дисперсію.

5.3.1 Критерій Фішера

Вимога до даних: дані незалежні і розподілені нормально.

Призначення: перевірка гіпотези про належність двох дисперсій до однієї генеральної сукупності і, отже, їхньої рівності.

За критерій перевірки нульової гіпотези про рівність двох дисперсій обирається відношення більшої виправленої дисперсії до меншої

>1, (5.9)

що підлягає розподілу Фішера з k₁=N₁-1; k₂=N₂-1 ступенями вільності, де N₁ і N₂ – розміри вибірок.

; .

F_кр знаходимо з рівняння .

знаходять за таблицею по заданому рівню значущостіта ступенях вільності k₁ та k₂.

Якщо F_р< F_кр – гіпотеза H₀ приймається, тобто можна вважати, що вибіркові дисперсії різняться несуттєво. У протилежному разі – H₀ відхиляється;

; ;

F_кр знаходимо з рівняння ;

F_р < F_кр – гіпотеза Н₀ – приймається;

F_р >F_кр – Н₀ відкидається.

В Excel: функція FРАСПОБР(; k;, k2) – повертає Fкр. однобічне.

Пакет Анализ данных: Сервис – Анализ данных – Двухвыборочный F-тест для дисперсии.

Приклад. У таблиці наведені показники продуктивності праці робітника на верстаті до і після удосконалення за 7 і 6 годин відповідно. Чи можна при рівні значущості = 0,05 вважати удосконалення ефективним?

Старий	42	43	38	40	43	38	40
Новий	42	43	44	42	43	43

Ефективність верстата залежить від дисперсії. Завдання полягає в порівнянні двох дисперсій.

Дисперсії обчислюємо за формулою

S =.

Висуваємо гіпотези:

, _.

Обчислюємо

S =4.619 , S =0,567 , k₁=7-1=6, k₂=6-1=5.

Тоді F_р = = 8,15 ; F_кр= FРАСПОБР(0,05,6, 5 )=4,95.

F_р > F_кр, отже, приймаємо гіпотезу Н₁: S > S_, тобто дисперсії різняться суттєво.

Розрахунки можна провести за допомогою пакета аналізу, обираємо: Сервис – Анализ данных.

Обираємо Двухвыборочный F-тест для дисперсии.

Елементи діалогового вікна "Двухвыборочный F-тест для дисперсии"

Інтервал змінної 1. Введіть посилання на перший рядок або перший стовпець аналізованих даних.

Інтервал змінної 2. Введіть посилання на другий рядок або другий стовпець аналізованих даних.

Заголовки. Встановіть прапорець, якщо перший рядок або перший стовпець вхідного інтервалу містить заголовки. Зніміть прапорець, якщо заголовки відсутні; у цьому випадку підходящі назви для даних вихідного діапазону будуть створені автоматично.

Альфа. Введіть рівень надійності для тесту. Його значення повинне перебувати в діапазоні 0 - 1. Рівень альфа пов'язаний з імовірністю виникнення помилки першого роду.

Вихідний діапазон. Введіть посилання на ліву верхню комірку вихідного діапазону. Розмір вихідного діапазону буде визначений автоматично, і на екран буде виведено повідомлення у випадку можливого накладення вихідного діапазону на вхідні дані.

Новий аркуш. Встановіть перемикач, щоб відкрити новий аркуш у книзі і вставити результати аналізу, починаючи з комірки A1. Якщо в цьому є необхідність, введіть ім'я нового аркуша в поле, розташоване напроти відповідного положення перемикача.

Нова книга. Встановіть перемикач, щоб відкрити нову книгу і вставити результати аналізу в комірку A1 на першому аркуші в цій книзі.

Натисніть кнопку ОК. Отримаєте таблицю:

			alfa=0,05
Двухвыборочный F-тест для дисперсий
		Переменная 1	Переменная 2
Среднее		40,57142857	42,83333333
Дисперсия		4,619047619	0,566666667
Наблюдения		7	6
df		6	5
F		8,151260504
P(F<=f) одностороннее		0,017997241
F критическое одностороннее		4,950294397

Як видно з таблиці, Excel дозволяє отримати всю необхідну інформацію для розв’язання поставленої задачі. Пояснимо, що df – кількість ступенів вільності, F – розраховане значення F_р, F критическое одностороннее – відповідно F_кр.

F_р > F_кр, отже, приймаємо гіпотезу Н₁: S > S _, тобто дисперсії різняться суттєво.

Висновок: можна вважати удосконалення верстата ефективним.