9. Задача не имеет решения из-за отсутствия области значений

Рассмотрим следующую задачу:

Фабрике мягких игрушек для изготовления плюшевых медведей и зайцев требуется соответственно: 500 и 300 г плюша, 200 и 100 г меховой обивки. При этом запасы плюша 20 кг, а меха необходимо использовать минимум 10 кг, для избежания истечения срока годности. Медведей продают по 70 руб, а зайцев по 50 руб. Необходимо найти, сколько произвести мягких игрушек каждого типа (x₁ и x₂). Для достижения максимальной прибыли.

Запишем ограничения:

Ограничение по плюшу:

x₁[шт]*500[г]+ x₂[шт]*300[г]≤20000[г] (19)

Ограничение по меху:

x₁[шт]*200[г]+ x₂[шт]*100[г]≥10000[г] (20)

Как видно из рис. 6. в данном случае область пересечения плоскостей отсутствует, а значит и отсутствует область допустимых значений.

Ответ: решений нет

Рис. 6. Отсутствие области допустимых значений

10. Метод искусственного базиса

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки = или ≥, то применять симплекс метод нельзя, т.к. все значения переменных по условию должны быть ≥ 0. Но можно добавить еще несколько искусственных переменных и решать задачу через вспомогательную задачу.

Разберем это на примере:

Заводу торгового оборудования для производства прилавков и витрин требуется соответственно: 4 и 6 м² ДСП, 1 и 3 м² стекла, 1 и 2 погонных метра трубы, 30 и 40 шт шурупов. На складе имеется 600 м² ДСП, 200 м² стекла. При этом необходимо использовать для производства не менее 150 погонных метров трубы и не менее 2000 шурупов. Стоимость прилавка 2000 руб. витрины- 4000 руб. Необходимо найти, сколько произвести продукции каждого типа (x₁ и x₂). Для достижения максимальной прибыли.

Тогда ограничение по ДСП ([м²]) запишется так:

x₁[шт]*4[м²]+ x₂[шт]*6[м²]≤600[м²] (21)

Ограничение по стеклу ([м²]) запишется так:

x₁[шт]*1[м²]+ x₂[шт]*3[м²]≤200[л] (22)

Ограничение по трубам ([м]) запишется так:

x₁[шт]*1[м]+ x₂[шт]*2[м]≥150[м] (23)

Ограничение по шурупам ([шт]) запишется так:

x₁[шт]*30[шт]+ x₂[шт]*40[шт]≥2000[шт] (24)

Как видно на рис. 7 данная задача имеет область допустимых значений и оптимальное решение.

Рис. 7. Область с ограничениями разных типов

Графическим методом можно найти оптимальное решение:

x₁=100 прилавков x₂=33,(3) витрин. Теоретическая максимальная прибыль F=333333.(3) руб. Но в реальности количество витрин не может быть дробным.

F=2000[руб]*x₁[шт]+4000[руб]*x₂[шт]

Опустим размерности и приведем систему к каноническому виду:

x₁*4+ x₂*6+x₃=600

x₁*1+ x₂*3+x₄=200

x₁*1+ x₂*2-x₅=150 (25)

x₁*30+ x₂*40-x₆=2000

x_i≥0 i=1..6

Видим, что к данной системе нельзя применить симплекс метод, так как у нас нет единичного столбца. Получить его с помощью операций над уравнениями, не нарушая условия неотрицательности свободных членов невозможно. А значит, мы не можем найти первый опорный план.

Для решения этой проблемы введем в третье и четвертое уравнения системы (25) дополнительные искусственные переменные x₇ и x₈

Получим новую вспомогательную систему:

x₁*4+ x₂*6+x₃=600

x₁*1+ x₂*3+x₄=200

x₁*1+ x₂*2-x₅+x₇=150 (26)

x₁*30+ x₂*40-x₆+x₈=2000

x_i≥0 i=1..8

Тогда критерий F’ для вспомогательной задачи будет равен: F’= x₇+x₈→min исходя из того, что вспомогательные переменные x₇ и x₈ необходимо обратить в ноль. В случае, если вспомогательные искусственные переменные нельзя обратить в 0, то общая задача не имеет решения.

Запишем симплекс таблицу для вспомогательной задачи:

1. Первый опорный план x’⁽¹⁾=(0,0,600,200,0,0,150,2000)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
0 0 1 1	x3 x4 x7 x8	4 1 1 30	6 3 2 40	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 -1 0	0 0 0 -1	0 0 1 0	0 0 0 1	600 200 150 2000
	ƒ’	31	42	0	0	-1	-1	0	0	2150

Определяем первую замену: x₈ на x₂

2. Второй опорный план x’⁽²⁾=(0,50,300,50,0,0,50,0)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
0 0 1 0	x3 x4 x7 x2	-0.5 -1.25 -0.5 0.75	0 0 0 1	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 -1 0	0.15 0.075 0.05 -0.025	0 0 1 0	-0.15 -0.075 -0.05 0.025	300 50 50 50
	ƒ’	-0.5	0	0	0	-1	0.05	0	-1.05	50

Определяем вторую замену: x₄ на x₆

3. Третий опорный план x’⁽³⁾=(0,66.(6),200,0,0,666.(6),16.(6),0)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
0 0 1 0	x3 x6 x7 x2	2 -16.(6) 0.(3) 0.(3)	0 0 0 1	1 0 0 0	-2 13.(3) -0.(6) 0.(3)	0 0 -1 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 -1 0 0	200 666.(6) 16.(6) 66.(6)
	ƒ’	0.(3)	0	0	-0.(6)	-1	0	0	-1	16.(6)

Определяем третью замену: x₇ на x₁

4. Четвертый опорный план x’^*=(50,50,100,0,0,1500,0,0)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	b
0 0 0 0	x3 x6 x1 x2	0 0 1 0	0 0 0 1	1 0 0 0	2 -20 -2 1	6 -50 -3 1	0 1 0 0	-6 50 3 -1	0 -1 0 0	100 1500 50 50
	ƒ’	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0

Данный опорный план оптимален для вспомогательной задачи, т.к. коэффициенты в критерии ≤0 (для min)

Перейдем обратно к первоначальной задаче от вспомогательной:

Уберем столбцы искусственных переменных x₇ и x₈ и вернем старый критерий: F=2000*x₁+4000*x₂

5. Первый опорный план для прямой задачи x⁽¹⁾=(50,50,100,0,0,1500)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0 0 2000 4000	x3 x6 x1 x2	0 0 1 0	0 0 0 1	1 0 0 0	2 -20 -2 1	6 -50 -3 1	0 1 0 0	100 1500 50 50
	ƒ	0	0	0	0	-2000	0	300000

Определяем первую замену для прямой задачи: x₃ на x₅

6. Опорный план x^*=(100,33.(3),0,0,16.(6),2333.(3))

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0 0 2000 4000	x5 x6 x1 x2	0 0 1 0	0 0 0 1	0.1(6) 8.(3) 0.5 -0.(6)	0.(3) -3.(3) -1 0.(6)	1 0 0 0	0 1 0 0	16.(6) 2333.(3) 100 33.(3)
	ƒ	0	0	333.(3)	666.(6)	0	0	333333.(3)

Теперь все оценки ≥0, значит, мы нашли оптимальный критерий прямой задачи (для max).

Решение симплекс методом (используя искусственный базис) дало то же самое оптимальное решение:

x₁=100 прилавков x₂=33,(3) витрин. Максимальная прибыль F=333333.(3) руб.

Порядок печати:

1,2:

22,3:4,21

20,5:6,19

18,7:8,17

16,9:10,15

14,11:12,13