НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

В.А. Рябинин

Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Лабораторная работа №2

Симплекс метод

Нижний Новгород

2005

1. Содержательное описание

Для изготовления одного килограмма шоколадных конфет «Кофе с молоком» и «Орехи в шоколаде» требуется соответственно: по 800 г шоколада, 200 и 100 мл молока, 150г и 50г какао, и для конфет «Орехи в шоколаде» требуется дополнительно 100 г орехов. Всего на складе кондитерской лавки есть 100 кг шоколада, 26 л молока, 15 кг какао и 10 кг орехов. Килограмм конфет «Кофе с молоком» продается по 100 рублей, «Орехи в шоколаде» по 80 рублей. Сколько килограмм каждого вида конфет необходимо произвести кондитерской лавке, чтобы получить максимальную прибыль?

2. Формализация.

Формализация - построение экономико-математической модели задачи.

Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.

Обозначим оптимизируемые величины (количество килограмм конфет «Кофе с молоком» и «Орехи в шоколаде») переменными x₁ и x₂ соответственно.

Тогда ограничение по шоколаду ([кг]) запишется так:

x₁[кг]*0,8[кг]+ x₂[кг]*0,8[кг]≤100[кг] (1)

Ограничение по молоку ([л]) запишется так:

x₁[кг]*0,2[л]+ x₂[кг]*0,1[л]≤26[л] (2)

Ограничение по какао ([кг]) запишется так:

x₁[кг]*0,15[кг]+ x₂[кг]*0,05[кг]≤15[кг] (3)

Ограничение по орехам ([кг]) запишется так:

x₂[кг]*0,1[кг]≤10[кг] (4)

Опустим размерности и запишем полученную систему неравенств:

x₁*0,8+ x₂*0,8≤100

x₁*0,2+ x₂*0,1≤26 (5)

x₁*0,15+ x₂*0,05≤15

x₂*0,1≤10

Оптимизационным критерием F будет доход, который необходимо максимизировать:

F=100[руб]*x₁[кг]+ 80[руб]*x₂[кг]→max (6)

Тогда решением будет вектор x^*(x₁,x₂), если на нем достигается максимальное значение критерия F.

3. Графическое решение

Для решения задачи построим графики уравнений системы неравенств (5) и найдем общую область, удовлетворяющую нашим условиям.

На рис. 1 она закрашена серым цветом.

Для нахождения оптимального решения нам необходимо нанести на график семейство линий уровня- линий, перпендикулярных градиенту критерия F. В нашем случае градиентом будет являться вектор с координатами (100;80), направленный вверх и вправо (исходя из условия максимизации критерия). Крайней точкой, находящейся внутри закрашенной области исходя из построения, будет точка пересечения графиков функций:

x₁*0,15+ x₂*0,05=15 и x₁*0,8+ x₂*0,8=100

Линия семейства уровней, проходящая через эту точку называется опорной линией уровня.

Для нахождения координат точки пересечения решим систему уравнений:

x₁*0,15+ x₂*0,05=15 (7)

x₁*0,8+ x₂*0,8=100

x₁=87,5; x₂=37,5

Найдем доход от печати листовок F=87,5[кг]*100[руб]+ 37,5[кг]*80[руб]

=11750[руб]

Ответ: Для достижения максимальной прибыли необходимо произвести 87,5 кг конфет «Кофе с молоком» и 37,5 кг «Орехи в шоколаде».

Рис. 1. Графическое решение оптимизационной задачи

4. Приведем задачу к каноническому виду

Необходимо перейти от системы неравенств к системе уравнений.

Для этого необходимо ввести новые переменные.

Система (5) преобразуется:

x₁*0,8+ x₂*0,8+x₃=100

x₁*0,2+ x₂*0,1+x₄=26 (8)

x₁*0,15+ x₂*0,05+x₅=15

x₂*0,1+x₆=10

x_i≥0 i=1..6