НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

В.А. Рябинин

Теория двойственности в задачах линейного программирования

Лабораторная работа №3

вариант №18

Нижний Новгород

2005

1. Содержательное описание

Фирма А выпускает изделия Х и поставляет их по договорным обязательствам фирме В ежемесячно в количестве 1000 шт. Каждое изделие состоит из двух деталей У и трех деталей Z. Детали У и Z можно купить в фирме С по цене соответственно 2 руб. и 1 руб. за шт. в объеме не более 800 и 1000 в месяц.

Детали можно также изготовить из заготовок U и V, закупаемых в фирме D по цене 4 и 7 руб. Из каждой заготовки U фирма Е за 2 руб. может изготовить 3 детали У и 1 деталь Z, а из заготовки V за 5 руб. – 3 детали У и 5 деталей Z, за 3 руб. – 5 деталей У и 2 детали Z.

Определить месячный план деятельности фирмы А, обеспечивающий выполнение договорных обязательств с минимальными затратами.

2. Формализация.

Обозначим за x₁- количество планируемых закупок деталей Y, в фирме C [шт] по 2 руб.

за x₂- количество планируемых закупок деталей Z, в фирме C [шт] по 1 руб.

за x₃- количество купленных деталей U, в фирме D [шт] по 4 руб. и преобразованные в 3Y и 1Z в фирме E за 2 руб.

за x₄- количество купленных деталей V, в фирме D [шт] по 7 руб. и преобразованные в 3Y и 5Z в фирме E за 5 руб.

за x₅- количество купленных деталей V, в фирме D [шт] по 7 руб. и преобразованные в 5Y и 2Z в фирме E за 3 руб.

Ограничения по закупкам в фирме C запишутся так:

x ₁≤800 (1)

x₂≤1000 (2)

Ограничение по количеству необходимых деталей Y

x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅=2000 (3)

Ограничение по количеству необходимых деталей Z

x₂+x₃+5*x₄+2*x₅=3000 (4)

Запишем полученную систему:

x₁≤800

x₂≤1000 (5)

x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅=2000

x₂+x₃+5*x₄+2*x₅=3000

x_i≥0, i=1..5

Оптимизационным критерием F будут затраты, которые необходимо минимизировать:

F=2*x₁+x₂+6*x₃+12*x₄+10*x₅→min (6)

Тогда решением будет вектор x^*(x₁,x₂, x₃,x₄,x₅), если на нем достигается минимальное значение критерия F.

3. Решение.

Запишем систему (5) в каноническом виде:

x ₁+x₆=800

x₂+x₇=1000 (7)

x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅=2000

x₂+x₃+5*x₄+2*x₅=3000

x_i≥0, i=1..7

Решим задачу методом искусственного базиса. Для этого составим вспомогательную задачу:

F =x₈+x₉→min

x₁+x₆=800

x₂+x₇=1000 (8)

x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅+x₈=2000

x₂+x₃+5*x₄+2*x₅+x₉=3000

x_i≥0, i=1..9

Решим методом искусственного базиса с помощью IBLP

_{Начальная симплекс таблица для вспомогательной задачи:}

									1	1
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	b
0 0 1 1	x6 x7 x8 x9	1 0 1 0	0 1 0 1	0 0 3 1	0 0 3 5	0 0 5 2	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	800 1000 2000 3000
	ƒ	1	1	4	8	7	0	0	0	0	0

Оптимальная симплекс таблица вспомогательной задачи:

									1	1
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	b
0 0 0 0	x6 x7 x5 x4	1 0 0.2631 -0.105	0 1 -0.157 0.2631	0 0 0.6315 -0.052	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 0.2631 -0.105	0 0 -0.157 0.2631	800 1000 52.6315 578.947
	ƒ	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0

Тогда преобразованная исходная задача станет такой:

		2	1	6	12	10
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	b
0 0 10 12	x6 x7 x5 x4	1 0 0.2631 -0.105	0 1 -0.157 0.2631	0 0 0.6315 -0.052	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0 0	800 1000 52.6315 578.947
	ƒ	-0.631	0.5789	-0.315	0	0	0	0	7473.68

Оптимальная таблица исходной задачи:

		2	1	6	12	10
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	b
0 1 10 12	x6 x2 x5 x4	1 0 0.2631 -0.105	0 1 0 0	0 0 0.6315 -0.052	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0.1578 -0.263	800 1000 210.526 315.789
	ƒ	-0.631	0	-0.315	0	0	0	-0.578	6894.73

Оптимальное решение x^*=(0;1000;0;315.789;210.526;800;0)

x₆=800 показывает, что у фирмы C в запасах останется 800 деталей.

Ответ (экономическая интерпретация):

Необходимо купить 1000 деталей Z в фирме C по 1 руб.;

315.789 деталей V в фирме D по 7 руб. и изготовить из каждой по 3 детали Y и 5 детали Z за 5 руб. в фирме E;

210.516 деталей V в фирме D по 7 руб. и изготовить из каждой по 5 деталей Y и 2 детали Z за 3 руб. в фирме E;

Минимальные затраты:

1000[шт]*1[руб]+315.789[шт]*12[руб]+ 210.516 шт]*10[руб]= =6894.73[руб]