4. Двойственная задача.

Построение:

1. Исходная модель минимизируется, значит все ограничения - неравенства исходной модели (5) должны быть типа ≥ , поэтому умножим неравенства (1) и (2) на -1

-x₁≥-800

-x₂≥-1000 (9)

x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅=2000

x₂+x₃+5*x₄+2*x₅=3000

x_i≥0, i=1..5

2) Исходная модель на минимум, значит двойственная к ней будет на максимум.

3) Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи будет представлять собой транспонированную матрицу соответствующих коэффициентов исходной задачи.

-1	0	1	0
0	-1	0	1
0	0	3	1
0	0	3	5
0	0	5	2

-1	0	0	0	0
0	-1	0	0	0
1	0	3	3	5
0	1	1	5	2

A= A^T=

4) Число переменных в двойственной задаче должно быть равно числу ограничений в исходной – 4. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в исходной -5. Переменная двойственной задачи y₁ соответствует первому ограничению исходной задачи, переменная y₁ – второму,– y₃ третьему, y₄ – четвёртому.

5) Коэффициентами при переменных y₁, y₂, y₃ и y₄ в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи вектор b=(-800;-1000;2000;3000),

а правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи, вектор с=(2;1;6;12;10).

6) Все переменные исходной задачи неотрицательны, то все ограничения двойственной задачи будут неравенствами типа ≤ т.к. в двойственной задаче ограничение на максимум. (1) и (2) ограничения исходной задачи - неравенства, (3) и (4) –равенства.

Значит y₁ и y₂ должны быть ≥0, y₃ и y₄ могут быть любого знака.

Исходя из условий 1-6, получаем двойственную задачу:

- y₁+y₃≤2

-y₂+y₄≤1

3*y₃+y₄≤6 (10)

3*y₃+5*y₄≤12

5*y₃+2*y₄≤10

y_i≥0, i=1,2; y_jЄR j=3,4

T=-800*y₁-1000*y₂+2000*y₃+3000*y₄→max

5. Экономический смысл.

Из ограничений системы (10) видно, что размерности переменных y [руб/шт] –стоимость единицы товара. Экономический смысл переменных y₃ и y₄ –стоимость покупки 1 детали типа Y и Z соответственно любым из 5 способов; y₁ и y₂ – выгода от покупки в фирме С деталей типа Y и Z. Критерий T- суммарная прибыль фирм C, D, E.

6. Решение с помощью iblp.

Получаем оптимальное решение:

		-800	-1000	2000	3000
Cb	БП	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	b
0 0 0 0	y5y4 y7 y2 y3	-1 0 0 0 0	0 0 0 1 0	0 0 0 0 1	0 1 0 0 0	1 0 0 0 0	1 0 0 -1 0	0 0 1 0 0	0.1052 0.2631 0.0526 0.2631 -0.105	-0.2631 -0.157 0.631 -0.157 0.2631	0.631578 1.57894 0.315789 0.578947 1.36842
	ƒ	800	0	0	0	0	1000	0	315.7	210.5	6894.73

y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894; 0.631578;0; 0.315789;0;0)