7. Решение по второй теореме двойственности.

Согласно второй теореме двойственности, планы x^* и y^* исходной и двойственной задачи соответственно, являются оптимальными тогда и только тогда, когда выполняются соотношения:

x^**(y^**A-c)=0 (11)

y^**(x^**A^T-b)=0 (12)

Для нашей задачи:

x ₁*(-y₁+y₃-2) =0

x₂*(-y₂+y₄-1) =0

x₃*(3*y₃+y₄-6) =0 (13)

x₄*(3*y₃+5*y₄-12) =0

x₅*(5*y₃+2*y₄-10) =0

y₁*(-x₁+800)=0

y ₂*(-x₂+1000)=0 (14)

y₃*(x₁+3*x₃+3*x₄+5*x₅-2000) =0

y₄*(x₂+x₃+5*x₄+2*x₅-3000) =0

Исходя из того, что в исходной задаче x₁ и x₃ были равны 0,

а x₂, x₄, x₅ ≥0 получаем:

-y₂+y₄-1=0 (15)

3*y₃+5*y₄-12=0 (16)

5*y₃+2*y₄-10=0 (17)

y₁=0 (18)

Решая систему (16), (17) получаем y₃=26/19=1.36842 y₄=30/19=1.57894, подставляя в (15) получаем y₂=11/19=0.578947

Ответ:

y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894); T^*=6894.73

8. Решение с помощью симплекс-таблицы исходной задачи.

Для решения данным методом необходимо привести задачу к каноническому виду и перерешать ее М-методом

Исходная симплекс таблица:

		2	1	6	12	10			M	M
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	b
0 0 M M	x6 x7 x8 x9	1 0 1 0	0 1 0 1	0 0 3 1	0 0 3 5	0 0 5 2	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	800 1000 2000 3000
	F	1	1	4	8	7	0	0	0	0	0

Оптимальная симплекс-таблица:

		2	1	6	12	10			M	M
Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	b
0 1 10 12	x6 x2 x5 x4	1 0 0.2631 -0.105	0 1 0 0	0 0 0.6315 -0.052	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 0	0 1 0.1578 -0.263	0 0 0.2631 -0.105	0 0 -0.157 0.2631	800 1000 210.526 315.789
	ƒ	-0.631	0	-0.315	0	0	0	-0.578	-M +1.368	-M +1.578	6894.73

известно, что справедливы следующие формулы:

Δ_j=C_B*A_j-C_j (19)

y*=C_b*B^-1 (20)

В системе ограничений исходной задачи переменной y₁ соответствует первое ограничение, содержащее базисную переменную x₆, переменной y₂ –второе, содержащее базисную переменную x₇, переменной y₃ – третье, содержащее базисную переменную x₈ и y₄ – четвёртое с переменной x₆.

Δ₆=C_B*A₆-C₆ Δ₇=C_B*A₇-C₇ Δ₈=C_B*A₈-C₈ Δ₉=C_B*A₉-C₉

y^*=C_b*B^-1= C_b*(A₆;A₂;A₅;A₄)^-1= C_b*(A’₆;A’₇;A’₈;A’₉),

откуда y₁=C_b*A’₆ y₂=C_b*A’₇ y₃=C_b*A’₈ y₄=C_b*A’₉;

y₁= Δ₆+C₆=0; y₂= Δ₇+C₇=-0.578947; y₃= Δ₈+C₈=1.36842; y₄= Δ₉+C₉=1.57894;

y₂ получился равным -0.578947 , но это не ошибка, так как нам необходимо решить не двойственную к канонической задаче, а двойственную к симметричной. Поэтому можно сделать замену: y’₂=-y₂ Получаем оптимальное решение:

y*=(0; 0.578947; 1.36842; 1.57894) T^*=6894.73