Правило четырехугольника:

Необходимо построить четырехугольник на диагонали, соединяющей исходный элемент с разрешающим. Тогда новое значение элемента будет равно

((Прежнее значение * разрешающий элемент) -(произведение элементов на противоположной диагонали))/(разрешающий элемент). Для нашей задачи:

Опорный план является оптимальным, если для задачи максимизации все его оценки неотрицательны (для max).

1. Первый опорный план x⁽¹⁾=(0,0,100,26,15,10)

Видно, что не все оценки положительны, значит, опорный план не является оптимальным.

Будем увеличивать х₁ т.к. ее увеличение вызовет наибольшее увеличение критерия. Предположим, что , тогда:

Θ*0,8+ x₂*0,8+x₃=100

Θ *0,2+ x₂*0,1+x₄=26

Θ *0,15+ x₂*0,05+x₅=15

x₂*0,1+x₆=10

Запишем новый опорный план: . Все оценки опорного плана должны быть ≥0

=>

При увеличении , первой перестает выполнять условие неотрицательности переменная , т.к. она первая обращается в ноль. Значит выведем из базиса . Теперь базисными переменными являются , а свободными . Для анализа этого плана выразим функцию цели через новые переменные.

В симплекс-таблице:

Наименьшее значение коэффициента C_i = -100, значит, выбираем столбец x₁ . Из отношений b_i/a_i1 видно, что наименьшее из них для i=5 (третьей строки), следовательно, заменяем переменную x_5.

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0 0 0 0	x3 x4 x5 x6	0.8 0.2 0.15 0	0.8 0.1 0.05 0.1	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1	100 26 15 10
	ƒ	-100	-80	0	0	0	0	0

Разрешающий элемент в нашем случае будет на пересечении столбца x₁ и строки x₅

После преобразований методом Гаусса или правилом четырехугольника получаем вторую симплекс таблицу:

2. Второй опорный план x⁽²⁾=(100,0,20,6,0,10)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
0 0 100 0	x3 x4 x1 x6	0 0 1 0	0.5(3) 0.0(3) 0.(3) 0.1	1 0 0 0	0 1 0 0	-5.(3) -1.(3) 6.(6) 0	0 0 0 1	20 6 100 10
	ƒ	0	-46.(6)	0	0	666.(6)	0	10000

Аналогично определяем следующую замену: x₃ на x₂

3. Третий опорный план x⁽³⁾=(87.5,37.5,0,0,0,0)

Cb	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
80 0 100 0	x2 x4 x1 x6	0 0 1 0	1 0 0 0	1.875 -0.062 -0.625 -0.188	0 1 0 0	-10 -1 10 1	0 0 0 1	37.5 4.75 87.5 6.25
	ƒ	0	0	87.5	0	200	0	11750

Так как все C_i≥0, то данный опорный план оптимальный

Получили тот же ответ: x₁=87.5; x₂=37.5 Прибыль =11750 руб

Графически мы прошли по точкам многоугольника области возможных значений в направлении от начальной точки (первого опорного плана (1)) в сторону увеличения критерия (по градиенту) по точкам (1)→(2)→(3) см. рис. 2

Рис. 2. Возрастание критерия при движении в направлении градиента