5. Симплекс метод

Симплекс метод решения задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (для max) или убывает (для min) (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.

Для применения симплекс метода необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида ≤, а компоненты вектора b - положительны.

Необходимо выполнить следующие шаги:

На примере нахождения максимального критерия

1. Найти опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу. В общем виде:

-Cb	БП	x1	x2	...	xr	xr+1	xj	xn	b
-C1 -C2 ... -Ci ... -Cr	x1 x2 ... xi ... xr	1 0 ... 0 ... 0	0 1 0 0		0 0 ... 0 ... 1	a1,r+1 a2,r+1 ... ai,r+1 ... ar,r+1	a1j a2j ... aij ... arj	a1n a2n ... ain ... arn	b1 b2 ... bi ... br
	ƒ	0	0	...	0	Cr+2	Cj	Cn	C0

3. В нижней строчке симплекс-таблицы необходимо отыскать отрицательные числа (не считая коэффициент С_о). Если таких чисел нет, то данное базисное решение является оптимальным.

4. Пусть элемент С_j<0,тогда в j-ом столбце необходимо найти положительный элемент. Если все коэффициенты этого столбца отрицательные, то решения не существует.

5. Если положительный коэффициент в j-ом столбце один, то выбранную строку с номером i надо поделить все коэффициенты на число a_ij.Результат деления записываем в новую симплекс-таблицу. Если же положительных коэффициентов несколько, необходимо составить отношение b_i/a_ij и из полученных значений выбрать наименьшее, соответствующее i-ой строке.

6. В новой симплекс-таблице в столбце базисных неизвестных вместо x_i пишется x_j. Продолжается заполняться таблица. В столбце с номером j необходимо получить нули (включая строку с целевой функцией). Для этого надо умножить i-ую записанную строку (разрешающую) на нужное число и сложить с остальными строками - воспользоваться методом Гаусса или правилом четырехугольника. В результате осуществится переход к новому базису, при этом значение целевой функции увеличится.

7. Повторять пункты 3-6 до тех пор, пока не найдем оптимальное решение.