3.1.2 Неоклассическая задача потребления.

В этом пункте мы будем изучать поведение потребителя, стесненного бюджетными ограничениями. Будем предполагать, что любой товар имеет некоторую цену, а потребитель обладает определенной суммой денег, тратя которые на приобретение товара, он стремится к максимизации функции полезности.

Считаем, что область определения X ф-ции полезности совпадает с Rⁿ₊ , а сама эта функция имеет непрерывные частные производные по любому аргументу в тех точках, в которых эти производные имеют смысл. (не им. смысл в точках, где x_i = 0)

Величину ∂u/∂x_i называют предельной полезностью i-го товара в наборе X. Из аксиомы ненасыщения следует, что предельные полезности неотрицательны. Мы потребуем выполнения несколько более сильного условия, считая все предельные полезности положительными. Пусть K > 0 -- сумма денег, которой располагает потребитель. Допуская определенную вольность речи, будем называть ее капиталом. Пусть далее P = (p₁, p₂, … , p_n ) -- это вектор цен, где p_i -- стоимость единицы i-го товара. Будем считать, что P > 0 ( p_i > 0 ; i = 1,…, n ). Бюджетное ограничение, отражающее то обстоятельство, что общие расходы потребителя не могут превышать его капитала, запишется в виде :

Σ p_ix_i < K (i от 1 до n ), или P^TX < K

Множество Y = {x Є Rⁿ₊ ; P^TX < K} -- допустимое множество потребителя.

Множество Y^* = {x Є Rⁿ₊ ; P^TX = K} -- бюджетная линия.

Неоклассическая задача потребления заключается в выборе такого набора X⁰ из допустимого множества Y, которое является самым предпочтительным, т.е. для всех остальных наборов X Є Y выполнено соотношение X⁰ > X ( здесь отношение предпочтения ).

В терминах функции полезности задача формулируется следующим образом : V(X) → Max при ограничении P^T - K < 0, X > 0. (1).

Задача (1) является задачей нелинейного программирования с функциональными ограничениями типа неравенств, а в частности -- задачей выпуклого программирования, если U(X) -- выпуклая функция. Такие задачи исследуются в курсе " Методы оптимизации ".

Известное из курса МА классическое правило множителей Лагранжа справедливо для задач с ограничениями типа равенств и к (1) непосредственно применяться не может. Тем не менее, как сейчас будет показано, этот результат оказывается полезным и в данном случае. Прежде всего заметим, что (1) имеет решение, т.к. там компакт -- это допустимое множество потребителя. Из аксиомы ненасыщения следует, что решение лежит на бюджетной линии. Т.о. (1) ~ (2) : V(X) → Max при ограничении P^T - K = 0, X > 0.

Пусть X⁰ = (x⁰₁, x⁰₂, … , x⁰_n ) -- решение (2), а значит и (1).

I⁺ = {i : x⁰_i > 0}, I^* = {i : x⁰_i = 0}, X¯ -- это n-вектор, компоненты которого с индексами из множества I⁰ фиксированые и равны 0. Легко видеть, что X⁰ будет точкой локального максимума в следующей задаче :

V(X¯) → Max при ограничении P^T - K = 0, X > 0.

Составим функцию Лагранжа для этой задачи:

L(X¯, λ) = V(X¯) - λ^T( P^TX - K )

Согласно классическому правилу множителей Лагранжа существует число λ⁰, что ∂L ( X⁰, λ⁰)/∂x_i = 0; i Є I⁺. Эти равенства ~ (3):

∂U(X⁰)/∂x_i = λ⁰p_i ; i Є I⁺; λ⁰ > 0, т.к. предельные полезности и цены положительны.

Вывод : Т.о. предельные полезности приобретаемых товаров в оптимальном наборе пропорциональны ценам товаров. Этот факт был подмечен довольно давно. Некоторые экономисты пытались использовать его для обоснования того, что цены определяются предельными полезностями. Связь между ценами и полезностью товаров существует, но не такая прямая, и трактовать (3) т.о. некорректно. При выводе данной формулы мы считали, что цены заданы, а потребитель подстраивается под них при достижении своей цели.