2.4.2 Стабильное население.

Развитие экономики и ее рост вызывается не только движением фондов, но и движением раб. силы. При этом численность занятых зависит от численности и структуры населения.

Нас будет интересовать возрастная структура населения некоторой страны, причем как мужского, так и женского.

Под возрастной структурой населения в некотором году t понимается его распределение по возрасту в начале года. Задается она вектором , где - численность населения в возрасте до 1 года, - от 1 до 2 лет и т.д. - так называемый предельный возраст. В дальнейшем будем называть населением в возрасте лет.

число совпадает с общей численностью населения.

- доля населения в возрасте лет во всем населении.

возрастная структура женского населения - ,

а мужского –

Опишем движение населения во времени (сначала женское).

Женщины в возрасте лет в течение года стареют на год и переходят в возрастну­ю группу , при этом некоторая часть их умирает. Так что если - численность женщин в возрасте лет в году , то численность возрастной группы в году равна:

(1)

число называют коэффициентом дожития. Оно совпадает с вероятно­стью того, что женщина из группы доживет до начала следующего года. Предполагается, что женщины возраста , если такие имеются, не доживут до следующего года. Заметим, что равенство (1) показывает, что мы пренебрегли миграцией населения.

Введем коэффициенты рождаемости: , - совпадающие с веро­ятностью того, что женщина в возрасте лет родит в течение года девочку, дожившую до начала следующего года. Понятно, что для достаточно малых и достаточно больших . Общая численность девочек, родившихся в данном году и доживших до начала следующего года, равна .

Таким образом, возрастная структура женского населения перейдет в следующем году в возрастную структуру : ,

при условии, что нет миграции. Рассмотрим

- матрица Лесли,

Чтобы описать движение мужского населения, надо ввести по аналогии коэффициенты дожития для мужчин , . Заметим, что обычно существенно отличается от : , т.е. мужская смертность выше. Рождаемость мальчиков определяется так же, как и рождаемость девочек по возрасту матери: , - вероятность того, что женщина в возрасте лет родит в течение года мальчика, дожившего до конца года (обычно ). Тогда в течение года возрастная структура мужского населения перейдет в :

Таким образом, движение женского населения можно изучать независимо от мужского, в то время как движение мужского населения определяется женским. Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь изучением движения женского населения. Более точное описание ситуации требует совместного рассмотрения и мужского, и женского населения. Для этого надо ввести оператор заключения браков. Это существенно усложняет модель, хотя качественный характер выводов изменяется незначительно.

Набор коэффициентов рождаемости и дожития называется режимом воспроизводства населения. Этот режим может быть записан в виде матрицы Лесли . Обычно он меняется во времени крайне медленно, если не считать эпохи войн, революций и других потрясений. Поэтому в течение длительного промежутка времени его можно считать постоянным.

Основную роль при исследовании движения населения с данным режимом играют собственное число и собственный вектор матрицы Лесли. - собственное число, если существует ненулевой вектор , такой, что , - собственный вектор.

Оказывается, матрица имеет одно и только одно - собственное число, которому отвечает собственный вектор с неотрицательными компонентами. Этот вектор единственен с точностью до положительного множителя. Последнее означает, что если , - собственные векторы с указанными свойствами, то , .

Понятно, что общая численность женского населения изменяется при переходе от одного собственного вектора к другому. В то же время доля населения в возрасте лет не зависит от выбора конкретного собственного вектора, поскольку все они пропорциональны.

Таким образом, все собственные векторы задают одну и ту же относительную структуру населения, которая указывает доли населения любого возраста.

Пусть структура населения в некотором базовом году задается каким-либо собственным вектором , тогда в году ,

при и т.д.

Как мы видим, движение населения во времени выразится последовательностью При этом относительная структура населения не меняется с течением времени, она стабильна. В связи с этим, население, описываемое собственным вектором матрицы Лесли, называется стабильным. Численность такого населения меняется по геометрической прогрессии с показателем , который называется темпом роста населения.