Поперечный изгиб

Чистый изгиб и его особенности

Брусья, работающие на изгиб, называются балками.

Прямым поперечным изгибом называется изгиб, когда внешняя сила перпендикулярна продольной оси балки и проходит через ось симметрии.

(Сила Р вызывает прямой поперечный изгиб, а сила Р1 – косой изгиб).

Косой изгиб реализуется, когда силы образуют угол с плоскостью симметрии величиной отличающейся от , и проходят через ось балки.

В поперечных сечениях балки при изгибе возникают два внутренних фактора: поперечные силы и изгибающие моменты.

Если поперечная сила равна нулю, и действует только изгибающий момент, то такой изгиб называют чистым изгибом.

Допущения

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются на некоторый равный угол, одно относительно другого, при действии изгибающего момента.

2. Плоские продольные сечения искривляются.

3. Слои на вогнутой стороне балки сжимаются, а на выгнутой – растягиваются. Нейтральный слой не изменяет своей длины, а следовательно является ненагруженным.

Определение внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы:

- внутренняя сила,

- изгибающий момент,

зависят от внешней нагрузки и изменяются по длине балки.

Для составления уравнений, определяющих значения и , и построения

соответствующих эпюр, принимают следующий правила:

рис.1

Для изгибающих моментов:

Если балка изгибается под действием моментов выпуклостью вниз, то внутренний силовой фактор – момент, действующий в данном сечении балки, принято считать положительным и наоборот; если изгиб происходит выпуклостью вверх, то момент, действующий в сечении балки, будет отрицателен.

Для поперечных сил:

Поперечная сила будет положительна, если внешние силы стремятся приподнять левую часть балки относительно правой, или опустить правую часть балки относительно левой, и наоборот.

Определение значений:

Поперечные силы:

Поперечная сила определяется как алгебраическая сумма сил, расположенных по одну сторону от данного сечения.

Изгибающие моменты:

Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

q – распределенная сила.

2) Определение поперечной силы, действующей в сечении х.

3)Определение изгибающего момента, действующего в сечении х.

Теорема Журавского (для Рис.3)

В соответствии с теоремой Журавского, поперечная сила является производной от момента, действующего в сечении, на расстоянии х.

Нормальные напряжения при изгибе.

Нормальные напряжения при изгибе вызываются изгибающим моментом, действующим в данном сечении.

В соответствии с законом Гука ,

Относительное удлинение при растяжении, которое реализуется, входе деформации изгиба - .

Дуга

рис.2

Тогда закон Гука примет вид .

- момент инерции относительно нейтральной оси

если

Касательные напряжения при изгибе вызванные действием поперечных сил.

рис.1

Касательное напряжение - функция статического момента площади.

с учетом (2)

A=b(h/2-y) (3)

(4)

с учетом (3) и (4)

Рассмотрим граничные условия:

При y=h/2 S=0 τ=0

y=-h/2 s=0 τ=0

y=0

Для сложных форм сечения фигуру разбивают на отдельные части и рассчитывают суммарный статический момент площади поэлементно.

Расчеты на прочность при изгибе

Рассмотрим различные напряженные состояния и возможные условия прочности.

1. В точках 1 и 4 касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения максимальны и могут быть определены зависимостью ≤[σ]

2. точка 3. Нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения максимальны и определяются уравнением:

1. точка 2.

В соответствии с третьей теорией прочности

Условие прочности для хрупких материалов:

, где - расстояние до растягивающихся или сжимаемых волокон.

Б15: Определение перемещений при изгибе.

Перемещения при изгибе. Понятия и определения.

Прогиб – это перемещение, перпендикулярное исходной оси балки в заданной точке А (у или f).

Угол поворота сечения-α

Имеет место перемещение двух типов:

Линейные (прогиб), и угловые (перемещение перпендикулярно исходной оси балки в заданной точке)

α-определяется положением касательной к точке А₁.

Искривленная при повороте ось балки называется упругой линией балки.

Существует несколько методов определения перемещения при изгибе.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии

y’=α – угол наклона.

у=f – прогиб.

После первого интегрирования получаем выражение для угла поворота сечения.

Интегрируя повторно, получаем выражение для определения прогиба.

Постоянные интегрирования находятся из граничных условий (в данном случае опирания балки).

Если Р посередине, то

Пример:

За ноль точку А не имеет смысла брать, ввиду того, что в этой точке появляется две реакции – поперечная сила и изгибающий момент.

Если мы идем справа, и за начало принимаем точку В, то момент в сечении х определяется лишь действием распределенной нагрузки Q.

Тогда

После интегрирования получаем:

Нужно получить постоянную интегрирования.

Если

Получаем

Интегрируя второй раз по аналогии, определяем уравнение для отыскания прогиба, и сам прогиб в точке В.

при x=l y(0)

В итоге

Универсальное уравнение упругой линии

Для вывода универсального уравнения упругой линии воспользуемся приведенной схемой.

Где:

М – сосредоточенный момент;

Р – сосредоточенная сила;

q – распределенная нагрузка.

Интегрируя выражение 1 с учетом зависимости 2 получаем:

Интегрируя второй раз получаем:

При х=0, подставим это в 3 и 4

Для случая многократного повторения рассмотренных видов нагрузок, универсальные уравнения для определения прогиба и угла поворота в любой точке х принимают следующий вид:

Уравнение для угла поворота в общем виде.

Уравнение для определения прогиба в общем виде.

Б16: Сложное сопротивление. Гипотезы прочности. Эквивалентные напряжения.

Б17: Сложное сопротивление. Расчеты на прочность при совместном действии изгиба и кручения.