- •Методические основы. Определение внутренних сил и напряжений. (сопротивление материалов)
- •Растяжение и сжатие.
- •Растяжение и сжатие.
- •Сдвиговая деформация
- •Поперечный изгиб
- •Сложное сопротивление.
- •Детали машин.
- •Динамика точки и системы.
- •Опоры и направляющие.
- •2. Расчет болта нагруженного поперечной силой и установленного без зазора.
- •3. Расчет резьбы на смятие.
- •Валы и оси
- •Кинематический анализ.
- •Уравнение равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости.
- •Статика Понятия и определения
- •Аксиомы статики
- •Связи и реакции связи
- •Уравнение равновесия пространственной системы сил
- •1.1. Задачи сопротивления материалов
- •Сопротивление материалов
- •Кинематика
- •Основы динамики точки и тела. Динамика механизмов.
Сдвиговая деформация
Основы
Под сдвиговой деформацией понимается такой вид деформации, когда в поперечном сечении балки действует только перерезывающая сила. При «чистом» сдвиге на гранях выделенного из бруса элемента действуют только касательные напряжения, и такие грани называются гранями «чистого» сдвига. (Рис.1)
Q – перерезывающая сила.
(1)
При равномерном распределении касательных напряжений выражение (1) упрощается:
. (2)
При расчете на сдвиг (срез) условия прочности с учетом зависимости (2) записываются в следующем виде:
Рассмотрим рис.2
Грань CD под действием касательных напряжений смещается относительно грани АВ и при этом мы получаем - абсолютный сдвиг (СС1=DD1)
ввиду малости .
Угол называется углом сдвига (относительным сдвигом).
В пределах упругости выполняется закон Гука для сдвиговых деформаций (напряжение пропорционально относительным деформациям).
(для растяжения )
Здесь G – модуль сдвига, как и при растяжении, он характеризует упругие свойства материала при сдвиговых деформациях (модуль второго рода).
С учетом коэффициента Пуассона можно представить соотношение между модулем второго и первого рода.
Заключение:
Расчет из условий прочности на сдвиг используется при действии поперечных сил для различных соединений (заклепочные, сварные, клеевые и т.д.)
Расчеты на прочность при сдвиге.
Расчет из условий прочности на сдвиг используется при действии поперечных сил, например для различных соединений (заклепочные, сварные, клеевые, резьбовые и т.д.)
Заклепочное соединение
Используя условие *, получим:
Поперечная сила равна Q=P, площадь сечения – площадь заклепки.
, где n количество заклепок.
Сварное соединение
Б11: Кручение стержня круглого сечения. Напряжение и перемещение при кручении.
Кручение Понятия и определения
Цилиндрический брус, закрепленный одним концом и нагруженный парой сил с моментом Т, действующим в поперечном сечении этого бруса, претерпевает деформацию кручения (Рис.1) , при этом рассмотрим следующие допущения связанные с оценкой внутренних сил, напряжений и перемещений при кручении:
1.Ось бруса (цилиндра) не деформируется;
2.Нормальные поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси цилиндра после приложения момента сил (гипотеза плоских сечений);
3.Равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого на равные углы;
4.Угол поворота концевого сечения (φ-полный угол закручивания) относительно закрепления
5.При кручении цилиндра в его поперечном сечении возникают только касательные напряжения.
Определения внутренних силовых факторов при кручении.
При действии нескольких разнонаправленных крутящих моментов, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, действующих слева, или справа от рассматриваемого сечения.
Дано: вал – 1, в подшипниках 2. Вращаются три шкива. Все определено.
Решение: за положительное направление выбираем положительное направление вращения часовой стрелки.
Напряжения и перемещения при кручении
- относительный сдвиг;
r - полный радиус;
- текущий радиус (текущая полярная координата);
- элементарный угол закручивания на длине dx;
- линейное перемещение (относительный сдвиг);
СС1 - абсолютный сдвиг на длине dx.
- относительный угол закручивания;
Согласно гипотезе плоских сечений, при кручении радиусы остаются прямыми, тогда зависимость относительного сдвига для произвольного радиуса можно записать в виде:
Только что рассмотренная формула показывает, что при кручении реализуется неравномерный сдвиг при сдвиговой деформации нет, а при она максимальна.
Согласно закону Гука, для сдвиговой деформации касательные напряжения будут определяться из формулы:
(1)
тогда из (*) и (1):
при
Поперечная сила может быть выражена через касательное напряжение:
(3)
dQ – элементарная поперечная сила.
Элементарный крутящий момент, действующий на расстоянии определиться как:
В сопротивлении материалов принято, что ∫ ρ2 dA= Jρ и является полярным момент инерции сечения (геометрическая характеристика сечения, которая учитывает и форму сечения).
Относительная деформация в сечении прямо пропорциональна действующему моменту в этом сечении, и обратно пропорциональна жесткости стержня (жесткость при кручении определяется как произведение модуля сдвига на полярный момент инерции).
При равномерном распределении касательных напряжений
- полный угол закручивания; φ=Θ
- длина участка;
c учетом (***) ≤[φ] –условие жесткости при кручении
Ранее была получена зависимость:
c учетом (***) получим
В соответствии с этой формулой можно оценить действующие касательные напряжения с учетом места и формы сечения.
- полярный момент сопротивления (геометрическая характеристика сечения).
Условие прочности при кручении
Условие жесткости при кручении может быть представлено следующим образом:
Полярные моменты инерции для круглого сечения
Ранее была предложена зависимость:
Приближенная формула для определения полярного момента сопротивления плоского сечения
Для кольцевого сечения
d – внутренний диаметр;
D – внешний диаметр.
Используя свойства интеграла, получим:
Б12: Расчеты на прочность и жесткость при кручении.
Расчеты на прочность и жесткость при кручении.
Для расчетов на прочность используются условия прочности и жесткости. ,
Эти условия позволяют решать основные типы задач сопротивления материалов (проверочные, проектные, задачи на определение несущей способности).
Особенности решения статически неопределимых систем, при кручении, заключаются в том, что известные алгоритмы решении рассматриваются с позиции совместных перемещений, при кручении, в соответствии с законом Гука и использованием выражения:
Пример решения задач на кручение
1.Статически определимая
1.Определение внешнего крутящего момента Т1 (из условия равновесия) Т1=Т2+Т3+Т4=6*103 Н*м
2.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала. (как внутренний силовой фактор)
ТAB= -Т2= -2,7*103 Н*м
ТBC= -Т2+Т1=3,3*103 Н*м
ТCD= -Т2+Т1+Т3=1,3*103 Н*м
3.Определение диаметра вала из условия прочности
4. определение диаметра вала из условия жесткости
Анализируя результаты мы можем считать что более жестким является условие жесткости, тогда принимаем d=100мм
5.Принимаем, что φА=0
Пример решения статически неопределимой задачи.
Дано: Т3=2*103 Н*м
Т4=1,3*103 Н*м
G=8*104 МПа
[Θ]=0,25 °/м
1.Определение внешнего крутящего момента Т1 (из условия равновесия) Т1=Т2+Т3+Т4=6*103 Н*м
2.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала. (как внутренний силовой фактор)
ТAB= -Т2= -2,7*103 Н*м
ТBC= -Т2+Т1=3,3*103 Н*м
ТCD= -Т2+Т1+Т3=1,3*103 Н*м
3.Определение диаметра вала из условия прочности
4. определение диаметра вала из условия жесткости
Анализируя результаты мы можем считать что более жестким является условие жесткости, тогда принимаем d=100мм
5.Принимаем, что φА=0
Пример решения статически неопределимой задачи.
Дано:
Т=2*103 Нмм
а=1м
d=100мм
G=8*104МПа
Требуется построить эпюры Тх и φх.
Решение:
1.Статика
ТА-Т1+ТС=0 –уравнение равновесия, одно уравнение с двумя неизвестными (система статически неопределима).
2.Геометрия
φAB+ φBC=0 углы закручивания.
3.Физика
4.TAB=TA
TBC=TA-T
TA*a+(TA-T)2a=0
3TA-2T=0
5.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала.
TAB= -TA=8*103 Нм
ТBC=TA-T= -4*103 Нм
6.Определение углов закручивания
φА=0
Б13: Поперечный изгиб. Поперечная сила и изгибающий момент.
Б14: Усталостная прочность. Расчеты при совместном действии кручения и изгиба.