4.2.2 Повний факторний експеримент
На підставі апріорної інформації (результати попередніх однофак-торних дослідів, розрахунки) оцінюють межі зміни факторів. При цьому враховують принципові обмеження (наприклад, для температури нижньою межею буде абсолютний нуль), техніко-економічні обмеження – вартість, дефіцитність, час дослідів, а також можливості апаратури, технології тощо.
В цих межах для кожного фактора потрібно вибрати основний рівень і інтервал варіювання, які і будуть безпосередньо використані при плануванні експерименту. Інтервали факторів повинні дозволяти знайти оптимальний стан, основні рівні повинні бути приблизно в центрі інтервалів.
Часто
вводять так називане кодування значення
фактора
,
яке визначають за формулою:
,
(4.30)
де
- фактичне значення фактора;
-
фактичне значення основного рівня;
-
інтервал варіювання;
-
номер фактора.
Для якісних факторів, що мають два рівня, верхній рівень позначають +1, а нижній -1, порядок їх не має значення. Верхній рівень фактора знаходять як суму основного рівня і інтервалу варіювання, нижній – як їх різницю.
Як приклад в таблиці 4.2 наведені фактичні і кодовані значення факторів для умов досліду з чотирма факторами.
В
повному факторному експерименті (ПФЕ)
реалізуються всі можливі сполучення
рівнів факторів. Якщо кількість рівнів
кожного фактора дорівнює двом (верхній
і нижній), то маємо повний факторний
експеримент типу
.
Загальна кількість дослідів дорівнює
,
де k
- кількість факторів. Якщо в досліді
використовують тільки верхній і нижній
рівні факторів, то кодовані значення
факторів будуть, відповідно, +1
і –1;
для простоти запису одиниці можна не
писати.
Умови експерименту записують у вигляді матриць планування експерименту, де рядки відповідають різним дослідам, а стовпці – значенням факторів.
Таблиця 4.2 - Фактичні і кодовані значення факторів для умов досліду з чотирма факторами.
|
Значення факторів |
|
|
|
|
|
Основний рівень |
3 |
30 |
1,5 |
15 |
|
Інтервал варіювання |
2 |
10 |
1 |
10 |
|
Верхній рівень |
5 |
40 |
2,5 |
25 |
|
Нижній рівень |
1 |
20 |
0,5 |
5 |
|
Натуральні значення факторів в конкретному досліді |
2 |
20 |
1,25 |
15 |
|
Кодовані значення |
-0,5 |
-1 |
-0,25 |
0 |
Таблиця 4.3 -Приклад таблиці планування для двох факторів 22.
|
Номер досліду |
x1 |
x2 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
За результатами експерименту знаходять значення коефіцієнтів за формулою:
.
(4.31)
Зокрема,
для моделі
і двох факторів:
;
(4.32)
;
(4.33)
.
(4.34)
Значення коефіцієнта для кожного фактора відповідає внеску даного чинника в параметр оптимізації при переході фактора з нульового рівня на верхній або нижній. Внесок, визначений при переході від нижнього рівня до верхнього, називається ефектом фактора (іноді його називають основним або головним ефектом). Він чисельно дорівнює подвоєному коефіцієнту.
Якщо є підстава вважати що модель нелінійна, то потрібно її ускладнити. Один з видів нелінійності, які часто зустрічаються, пов’язаний з тим, що ефект одного фактора залежить від рівня, на якому знаходиться інший фактор. В цьому випадку говорять, що має місце ефект взаємодії двох факторів. ПФЕ дозволяє кількісно оцінювати ефекти взаємодії. Для цього потрібно, користуючись правилом перемноження стовпців, отримати стовпець добутку двох факторів. Для ПФЕ 22 матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії наведена в таблиці 4.4.
Таблиця 4.4 - Матриця планування з урахуванням ефекту взаємодії
|
Номер досліду |
x0 |
x1 |
x2 |
x1, x2 |
y |
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
y4 |
Тут x0 (фіктивний фактор) вводиться для зручності обчислень. Тепер модель має вигляд:
.
(4.35)
Коефіцієнт
обчислюється за формулою:
.
(4.36)
Інший спосіб обчислення (метод Йєтса) дає наступні формули для повного факторного експерименту 22:
;
(4.37)
;
(4.38)
;
(4.39)
.
(4.40)
Зі збільшенням кількості факторів матриця планування ускладнюється. Загальні правила складання таких матриць: а) частота зміни знаків в кожному наступному стовпці зменшується в два рази; б) додавання кожного нового фактора збільшує кількість дослідів удвічі (спочатку для “+” нового фактора, потім стільки ж дослідів для “-“).
Для трьох факторів ПФЕ має більше взаємодій. Матриця наведена в таблиці 4.5.
ПФЕ має чотири важливі властивості:
1. Симетричність відносно центра експерименту – алгебраїчна сума елементів векторстовпців кожного фактора дорівнює 0, тобто
,
(4.41)
де
j
– номер фактора
;
i – номер досліду;
n – кількість дослідів.
2. Умова нормування: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює кількості дослідів:
.
(4.42)
Це є наслідком того, що значення факторів в матриці задаються та-кими, що дорівнюють +1 і –1.
3. Ортогональність матриці планування: сума добутків складових будь-яких факторів - стовпців матриці дорівнює 0:
і
j=u,
u=0,
1, 2, 3, …, k.
(4.43)
4. Ротатабельність матриці планування: точки в матриці планування підбираються так, що точність передбачення значень параметра оптиміації однакова на рівних відстанях від центра досліду і не залежить від напрямку.
Таблиця 4.5 - Матриця для трьох факторів ПФЕ.
|
Номер досліду |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1 Х2 |
Х1 Х3 |
Х2 Х3 |
Х1 Х2 Х3 |
Y |
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
Y1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
Y2 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
Y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Y4 |
|
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
Y5 |
|
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
Y6 |
|
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
Y7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
Y8 |