1.1.8 Вимірювання невипадкових величин та їх реалізацій Призначення контрольних меж. Рівноточні виміри постійної величини

Під час експериментів виникає задача здійснювати вимірювання очі-куваної постійної величини. Наприклад, підприємство виготовляє одно-типові деталі. Очікується, що результати вимірів повинні бути однакови-ми, якщо відсутня систематична та випадкова похибки. Наприклад, мікро-процесорний пристрій постійно контролює параметр силового енергетич-ного обладнання, яке знаходиться в роботі. Очікується, що результати ви-мірювань (коли обладнання без пошкоджень) повинні бути однаковими, якщо відсутня систематична та випадкова похибки [7,8,10].

При опрацюванні результатів вимірювань постійної величини точ-ність її оцінки і довірчі межі знаходять за такими формулами.

Точкова оцінка постійної величини

(1.29)

де y_i - результат вимірювань; n - кількість вимірювань.

Середньоквадратичне відхилення точкової оцінки постійної величи-ни

, (1.30)

де σ_Δ - середньоквадратична похибка вимірів.

Довірчі межі (задача полягає в знаходженні меж, які утворюють інтервал, що перекриває невідому постійну величину y з довірчою ймо-вірністю p):

одна нижня одностороння межа

, (1.31)

одна верхня одностороння межа

, (1.32)

дві (верхня і нижня) рівновіддалені двосторонні межі

, (1.33)

де p - довірча ймовірність; t_p, t_(1+p)/2 - квантилі нормованого нормального закону розподілу, які визначаються по таблиці 1.6.

Довірчий інтервал при односторонній межі напіввідкритий, тобто одна межа кінцева, інша - нескінченна. Зокрема, при визначенні нижньої односторонньої межі довірчий інтервал очікуваних правильних результатів вимірювань знаходиться в межах y_н ÷ + . При визначенні двосторонніх меж його розмір скінченний і складає

. (1.34)

Таким чином, величина інтервалу в обох випадках є невипадковою. Випадковим є лише положення кінцевих меж інтервалу на осі. Це поло-ження однозначно пов’язане з випадковим положенням точкової оцінки. Часто межі призначають так, щоб інтервал містив у собі постійну контро-льовану величину з досить великою імовірністю р.

Зокрема, при двосторонньому інтервалі часто вибирають р = 0,9973. Тоді з таблиці 1.6 вибираємо для (1+0,9973)/2 t_(1+Р)/2 = 3 і формула (1.33) приймає вид

. (1.35)

Абсолютна точність оцінки

. (1.36)

Приклад. Визначити кількість незалежних вимірів для оцінювання постійного розміру з заданою абсолютною точністю.

Вихідні дані. έ - необхідна абсолютна точність вимірів; р - необхідна імовірність висновків.

Рішення. Необхідний об’єм вимірів розраховуємо за формулою

, (1.37)

де t_(1+Р)/2 - квантіль нормованого нормального розподілу (визначається по таблицею 1.6) Залежність об’єму випробовувань n від відношення σ_Δ / έ і рівня імовірності р наведена на рисунку 1.2.

Рисунок 1.2 - Залежність об’єму вимірів n, необхідного для оцінки пос-тійної вимірюваної величини з заданою точністю, від відношення σ_Δ / έ.

Часто при вимірюваннях постійної величини імовірність p = 0,9973, коли квантіль t_(1+Р)/2 = 3, і формула набуває вигляду:

. (1.38)

Ця формула залишається справедливою і для тих випадків, коли імовірність р відрізняється від 0,9973. В цьому випадку під треба розуміти граничну похибку вимірів, визначену на тому самому рівні р, що й абсолютна точність вимірів έ.

Кількість вимірів n округляється в більшу сторону до найближчого цілого числа.

Таблиця 1.6 - Квантилі t_р нормованого нормального розподілу для різних p

р	tр	р	tр	р	tр	p	tр
1	2	3	4	5	6	7	8
0,50	0,000000	0,70	0,524401	0,90	1,281552	0,983	2,120072
0,51	0,025069	0,71	0,553385	0,91	1,340755	0,984	2,144411
0,52	0,050154	0,72	0,582842	0,92	1,405072	0,985	2,170090
0,53	0,075270	0,73	0,612813	0,93	1,475791	0,986	2,197286
0,54	0,100434	0,74	0,643345	0,94	1,554774	0,987	2,226212
0,55	0,125661	0,75	0,674490	0,95	1,644854	0,988	2,257129
0,56	0,160969	0,76	0,706303	0,96	1,750686	0,989	2,290368
0,57	0,176374	0,77	0,738847	0,97	1,880794	0,990	2,326348

Продовження таблиці 1.6

1	2	3	4	5	6	7	8
0,58	0,201893	0,78	0,772193	0,971	1,895698	0,991	2,365618
0,59	0,227545	0,79	0,806421	0,972	1,911036	0,992	2,408916
0,60	0,253347	0,80	0,841621	0,973	1,926837	0,993	2,457263
0,61	0,279319	0,81	0,877896	0,974	1,943134	0,994	2,512114
0,62	0,305481	0,82	0,915365	0,975	1,959964	0,995	2,575829
0,63	0,331853	0,83	0,954165	0,976	1,977368	0,996	2,652070
0,64	0,358459	0,84	0,994458	0,977	1,995393	0,997	2,747781
0,65	0,385320	0,85	1,036433	0,978	2,014091	0,998	2,878162
0,66	0,412463	0,86	1,080319	0,979	2,033520	0,99865	3,002445
0,67	0,439913	0,87	1,126391	0,980	2,053749	0,999	3,090232
0,68	0,467699	0,88	1,174987	0,981	2,074855	-	-
0,69	0,495850	0,89	1,226528	0,982	2,096927	-	-